1的数目

看编程之美第一天~先来记记这算法第一题

1的数目

给出一个十进制正整数N，算出从1到N出现的所有'1'的数目。

 

初一看来，很简单嘛，遍历一下就完了~效率啊效率，不解释

先写写自己做的，也就是编程之美第一种解法：

对每一个数遍历含有1的数目加起来，这种应该算是学过编程的人都会做吧

public static int count1InInteger(int a) { int count = 0; while (a >=1) { count += (a % 10 == 1) ? 1 : 0; a /= 10; } return count; } public static int count(int b) { int count = 0; while (b > 0) { count += count1InInteger(b); b--; } return count; }

但是这种情况我们可以算下时间复杂度：

首先遍历每个数的位数的时间复杂度,设a/=10;执行f(n)次，则10^f(n)<n，得时间复杂度O（log2 n)

再对于遍历从1到N的数是O(n),最后整个算法时间复杂度为O(n*log2 n)

根据编程之美所说一样，如果计算100 000 000的1的数目，计算时间大概需要40秒

下面来说说第二种解法：

既然遍历效率太低，那根据规律来判断吧

 

首先从一位数来看

一位数时，无论怎样看只要大于0只可能出现一次1

 

再看两位数

如果十位数是大于1的数，在十位会出现1的情况就只有10到19，在个位会出现1的情况就是1,11,21等等

这个地方我们可以注意一下了，个位出现1的总数是取决于十位数是多少，还取决于本身是多少。

比如如果N是20，个位出现1的总数只有1和11；而如果N是21到29，则个位出现1的总数有1,11和21。

如果十位数是1，则在十位会出现1的情况数还取决于个位数为多少的，比如如果个位数为2则十位数上出现1的情况只有10,11和12。

以此类推。

最后算出来结果便是十位上出现1的情况和个位上出现1的情况总数相加。

 

再来看三位数

如果百位数是大于1的数，在百位会出现1的情况就有100到199这100个数；如果百位数为1，则在百位会出现1的情况是取决于十位和个位为多少的，比如123，在百位出现1的情况数只有100到123。百位数情况先讨论至此。

这里我们需要注意十位数。如果十位数是大于1的数，十位数上会出现1的情况是取决于比他更高位的，比如220，此时在十位会出现1的情况有10到19,110到119和210到219，也就是百位从0到当前百位数值，3*10。

如果十位数是1，则十位数上会出现1的情况不仅取决于高位还取决于低位的数值。比如211，此时在十位会出现1的情况有10到19,110到119和210到211，也就是百位从0到当前百位数值减一，2*10，还得加上百位为2时的2种情况，也就是低位数值加1。

如果十位数是0，则十位数上会出现1的情况只取决于高位，比如N为201，此时在百位数为2时十位不可能为1，也就是2*10。

此时个位同样如果大于1，则在个位可能出现1的情况取决于高位，比如112.，个位可能出现1的情况有1,11到91,101，111，为（11+1）*1

如果个位为1，如111，则可能情况为1,11到91,101,111，为（11+1）*1+0。读者应该能理解我为什么要加一个0在后面。

如果个位为0，如110，则可能情况为1,11到91,101，为11*1。

 

四位数以及更多位数读者可自行验证。

经过这样推导，不难理解每一位上出现1的情况数分为三种情况：

一、如果给出的N当前位大于1时，在当前位可能出现1的情况中，总数取决于更高位，其可能情况数位高位值加一乘以当前位幂

二、如果给出的N为1，则当前位可能出现1的情况取决于高位和低位，可能情况数位高位值乘以当前位幂再加低位加1的值。

三、如果给出的N为0，则出现的情况比第一种情况少了高位为最大时的情况。

public static int secCount(int b) { int flag = 1; int count = 0; while (b / flag > 0) { int high = b / flag / 10;//高位的数 int current = b / flag - high * 10; //当前位的数 int low = b % flag;//低位的数 switch (current) { case 0: count += high * flag; break; case 1: count += high * flag + low + 1; break; default: count += (high + 1) * flag; break; } flag *= 10; } return count; }

给粗心的人提示下~high*flag的值并不等于b/10的哈。