1的数目

题目描述

给定一个十进制正整数N，求出从1到N的所有整数中包含1的个数。比如给定N=23，则包含1的个数为13。其中个位出现1的数字有1，11，21，共3个，十位出现1的数字有10，11...19共10个，所以总共包含1的个数为3+10 = 13个。

 

自然的解法

最自然的想法莫过于直接遍历1到N，求出每个数中包含的1的个数，然后将这些个数相加就是总的1的个数。需要遍历N个数，每次计算1的个数需要O(lgN)(以10为底)，该算法复杂度为O(NlgN)。当数字N很大的时候，该算法会耗费很长的时间，应该还有更好的方法。

 

更好的解法

一个更好的解法建立在对该题目进行深入分析的基础上。一种特殊的情况是可以直接得出求解的公式的，而针对常规的情况则需要分情况考虑。

特殊的情况(N=10^K-1)

如果N为K位数，且N为K位数的最大值，则1~N中1的个数为K*10^(K-1)。假定N为3位数，且是3位数中最大的数999，则我们考虑从001-999。先让个位为1，则剩下的两个位置有10*10=10^2种可能，都可能为0-9中任何一个。同理，十位或百位为1，则剩下两个位置也有10^2种可能的取值，所以总的取值可能为3*10^2=300个1。注意一点，如果是求1~999中包含1的数字的个数，那就不同了。如11就只能算一个数字，而在前面的分析中是要算两次的。改成这样也很容易求解，考虑1~999共999个数字，其中不包含1的数字有9^3-1 = 728个，所以包含1的数字个数为999-728= 271个。

常规情况(N为任意正整数)

我们可以从1位数开始分析，慢慢找寻规律。

当N为1位数时，对于N>=1，1的个数F(N)为1。

当N为2位数时，则个位上1的个数不仅与个位数有关，还和十位数字有关。当N=23时，个位上1的个数有1、11、21共3个，十位上1的个数为10，11...19共10个，所以1的个数F(N) = 3+10 = 13。如果N的个位数大于等于1，则个位出现1的次数为十位数的数字加1；如果N得个位数为0，则个位出现1的次数等于十位数的数字。

十位数上出现1的次数类似，如果N的十位数字等于1，则十位数上出现1的次数为各位数字加1；如果N的十位数字大于1，则十位数上出现1的次数为10。

当N为3位数时，同样分析可得1的个数。如N=123，可得1出现次数=13+20+24 = 57。

当N为4,5...K位数时，我们假设N=abcde，则要计算百位上出现1的数目，则它受到三个因素影响：百位上的数字，百位以下的数字，百位以上的数字。

如果百位上数字为0，则百位上出现1的次数为更高位数字决定。如N=12013，则百位出现1的数字有100~199， 1000~1199， 2100~2199...11100~111999共1200个，等于百位的更高位数字(12)*当前位数(100)。

如果百位上数字为1，则百位上出现1的次数不仅受更高位影响，还受低位影响。如12113，则百位出现1的情况共有1200+114=1314个，也就是高位影响的12*100+低位影响的113+1=114个。

如果百位上数字为其他数字，则百位上出现1的次数仅由更高位决定。如12213，则百位出现1的情况为(12+1)*100=1300。

有以上分析思路，写出下面的代码。其中low表示低位数字，curr表示当前考虑位的数字，high表示高位数字。

一个简单的分析，考虑数字123，则首先考虑个位，则curr为3，低位为0，高位为12；然后考虑十位，此时curr为2，低位为3，高位为1。其他的数字可以以此类推。

 

typedef unsigned long long ULONG;ULONG numOfone(ULONG n){    ULONG factor = 1, cnt = 0;  //factor为乘数因子    ULONG low=0, curr=0, high=0;    while (n / factor != 0) {        low = n - n/factor * factor;  //low为低位数字，curr为当前考虑位的数字，high为高位数字        curr = n/factor % 10;        high = n/(factor * 10);        switch(curr) {            case 0:   //当前位为0的情况                cnt += high * factor;                break;            case 1:   //当前位为1的情况                cnt += high * factor + low + 1;                break;            default:  //当前位为其他数字的情况                cnt += (high+1) * factor;                break;        }        factor *= 10;    }    return cnt;}

 

递归解法

何海涛先生的博客中还有一个递归的解法，可以参见http://zhedahht.blog.163.com/blog/static/25411174200732494452636/