约瑟夫环问题
来源:互联网 发布:js putimagedata 编辑:程序博客网 时间:2024/05/02 00:01
约瑟夫(josephus)环:假设有n个小孩坐成一个环,并且从第一个小孩开始数,如果数到m个小孩,则该小该离开,问最后留下的小孩是第几个小孩?
例如:总共有6个小孩,围成一圈,从第一个小孩开始,每次数2个小孩。
游戏情况如下:小孩序号:1,2,3,4,5,6 离开小孩序号:2,4,6,3,1 最后获胜小孩序号:5
1、简单办法:(如果只要求输出最后获胜的小孩编号,以下办法可以采用---具体数学第一章有一节专门讲这个的)
view plaincopy to clipboardprint?
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点:要模拟整个
游戏过程,不仅程序写起来比较烦,而且时间复杂度高达O(nm),当n
,m非常大(例如上百万,上千万)的时候,几乎是没有办法在短时间
内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号,
而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率,就要打破常规,
实施一点数学策略。
为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:
问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出
,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后,剩下的n-1个人组
成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始):
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换:
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-3 --> n-3
k-2 --> n-2
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这
个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x
变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相
信大家都可以推出来:x‘=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就
行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是
一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式:
令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然
是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值,最后结
果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f[n]+1
由于是逐级递推,不需要保存每个f,程序也是异常简单:
#include <stdio.h>
int main(void)
{
int n, m, i, s=0;
printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);
for (i=2; i <=n; i++) s=(s+m)%i;
printf ("The winner is %d/n", s+1);
}
这个算法的时间复杂度为O(n),相对于模拟算法已经有了很大的提高
。算n,m等于一百万,一千万的情况不是问题了。可见,适当地运用
数学策略,不仅可以让编程变得简单,而且往往会成倍地提高算法执
行效率。
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点:要模拟整个
游戏过程,不仅程序写起来比较烦,而且时间复杂度高达O(nm),当n
,m非常大(例如上百万,上千万)的时候,几乎是没有办法在短时间
内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号,
而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率,就要打破常规,
实施一点数学策略。
为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:
问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出
,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后,剩下的n-1个人组
成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始):
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2
并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换:
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-3 --> n-3
k-2 --> n-2
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这
个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x
变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相
信大家都可以推出来:x‘=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就
行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是
一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式:
令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然
是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值,最后结
果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f[n]+1
由于是逐级递推,不需要保存每个f,程序也是异常简单:
#include <stdio.h>
int main(void)
{
int n, m, i, s=0;
printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);
for (i=2; i <=n; i++) s=(s+m)%i;
printf ("The winner is %d/n", s+1);
}
这个算法的时间复杂度为O(n),相对于模拟算法已经有了很大的提高
。算n,m等于一百万,一千万的情况不是问题了。可见,适当地运用
数学策略,不仅可以让编程变得简单,而且往往会成倍地提高算法执
行效率。
2、以下用链表处理约瑟夫环问题(代码仅为参考,没设置密码位,即至始至终m值是不变的)
如果题目要求每个人手里有一个密码,当这个人离开时,他应该将自己的密码赋值给m,然后输出自己,那么法一实现起来就并不那么容易了。这是使用单循环链表无疑是一个非常不错的选择。
单循环链表,模拟了人的组织结构----一圈,并且不需要因为哪个人被踢出去,改变已有的组织结构(只需要动态删除即可),也不需要设置标志位。
对于链表中的每个人,我们可以考虑给其一个结构,内含有这个人的编号,以及密码。当然,我们也可以设置一个全局的结构保存,共有多少个人,已经出去了多少人,为了后来新的需求:假设剩下k个人后,程序就停止。
view plaincopy to clipboardprint?
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
int main()
{
int k=0,n=0,s=0,m=0; //k为1,2,3报数时的计数变量,m为退出人数
int num [100];
int *p=num;
int i;
printf("Enter the number of person and the key:");
scanf("%d%d",&n,&s);
for (i=0; i<n; ++i)
{
*(p+i)=i+1; //以1至n为序给每个人编号
}
i = 0;
while (m<(n-1)) //当未退出人数大于1时执行循环体 (n-m) > 1
{
if (*(p+i)!=0)
k++;
if (k==s) //对退出的人编号置为0
{
printf("%d/n",*(p+i));
*(p+i)=0;
k = 0;
m++;
}
i++;
if (n==i)
i = 0; //报数到尾后,i恢复为0
}
while (*p==0)
p++;
printf("The last one is :%d/n",*p);
system("PAUSE");
return 0;
}
======================================================
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <malloc.h>
/* 结构体和函数声明 */
typedef struct _node_t
{
int n_num;
struct _node_t *next;
} node_t;
node_t *node_t_create(int n);
node_t *node_t_get(node_t **pn, int m);
node_t * node_t_create(int n)
{
node_t *p_ret = NULL;
if (0 != n)
{
int n_idx = 1;
node_t *p_node = NULL;
/* 构造 n 个 node_t */
p_node = (node_t *) malloc(n * sizeof(node_t));
if (NULL == p_node)
return NULL;
else
memset(p_node, 0, n * sizeof(node_t));
/* 内存空间 申请 成功 */
p_ret = p_node;
for (; n_idx < n; n_idx++)
{
p_node->n_num = n_idx;
p_node->next = p_node + 1;
p_node = p_node->next;
}
p_node->n_num = n;
p_node->next = p_ret;
}
return p_ret;
}
int main()
{
int n, m;
node_t *p_list, *p_iter;
printf("Please enter the total and the key :");
scanf("%d%d",&n,&m);
printf("The total num is : %d /nThe key is : %d /n",n,m);
/* 构造环形单向链表 */
p_list = node_t_create(n);
/* Josephus 循环取数 */
p_iter = p_list;
m %= n;
while (p_iter != p_iter->next)
{
int i = 1;
/* 取到第 m-1 个节点 */
for (; i < m - 1; i++)
{
p_iter = p_iter->next;
}
/* 输出第 m 个节点的值 */
printf("%d ", p_iter->next->n_num);
/* 从链表中删除第 m 个节点 */
p_iter->next = p_iter->next->next;
p_iter = p_iter->next;
}
printf("%d ", p_iter->n_num);
/* 释放 申请 的空间 */
free(p_list);
system("PAUSE");
}
- 约瑟夫问题、约瑟夫环
- Josephus约瑟夫环问题
- 约瑟夫环问题
- 约瑟夫环问题(Josephus)
- 约瑟夫环问题--java
- 约瑟夫环问题 Josephus
- 约瑟夫环问题
- 约瑟夫环问题
- 约瑟夫环问题
- 约瑟夫环问题
- 约瑟夫环问题
- 求解约瑟夫环问题
- 约瑟夫环问题
- 约瑟夫环问题
- 约瑟夫环问题
- 约瑟夫环问题
- 约瑟夫环问题
- 约瑟夫环问题
- Teach Yourself Programming in Ten Years——用十年教会自己编程
- 上传与下载功能的实现
- Windows平台Mysql表名变小写的解决过程
- 企业所使用的最常见的销售操作流程(11i OM)
- Grails学习笔记3
- 约瑟夫环问题
- Android 设置list背景(转)
- 几大高效分页存储过程汇总
- Android101110: Android Make脚本的简记(3)(转)
- 求救我号怎么被锁定了???没做过什么是啊
- meego开发的学习路线
- Android Bitmap zoomIn/zoomOut/rotate ——图片的缩小,放大 和旋转(转)
- 《精通Qt4编程(第2版)》
- Bitmap 相关2:Bitmap.createBitmap() 使用(转)