由最大逆序数求出排列个数，即poj3761公式推导

问题描述如下：

一个具有n个元素的排列，经过k趟bubble sort排到有序状态。求出满足此条件的排列个数。

首先，了解反序表的概念。《计算机程序设计艺术》第三卷5.1.1反序部分有说明。简述如下：a1,a2,...,an是集合{1,2,...,n}的一个排列。令bj为位于j左边但是大于j的元素个数，就能得到排列a1,a2,...,an的反序表b1,b2,...,b3。比如说：排列

5 9 1 8 2 6 4 7 3

有反序表

2 3 6 4 0 2 2 1 0 。

不管什么样子的排列，只要可以比较大小，就可以映射到集合{1,2,...,n}上的一个排列。不难发现，每一趟bubble sort ，都会将这一趟之前反序数大于0的元素的反序数减1。经过k趟之后，所有元素的反序数均为0，也就是说，反序表为n个0，亦即有序状态。因此，题目可以演化为，n个元素的排列，反序表中最大值为k，求这样的排列有多少种。

易知，第i个元素的反序数取值范围是[0,n-i]，还注意到一个事实，就是：每个元素的反序数取值是相互独立。为什么呢？事实上我开始以为是不独立的，但是验证了几个例子以后，我推翻自己的想法。当然这只是直觉上的。但是可以从《计算机程序设计艺术》第三卷反序部分得到一点理论支撑。引用书上的话“一张反序表唯一的确定一个排列”（我没有细看这个事实的证明）。因此，反序表和排列之间一一对应。全排列个数是n!，因此反序表的个数也是n!，这只有在取值相互独立的情况下得到。

回到题目，反序数最大为k。那么当n-i<=k，即i>=n-k的时候，元素i可随意放。因为不管怎么放，他们的反序数都不会大于k，取值的个数由i来决定。当i<n-k时候，这些元素的反序数只可以在[0,k]之间选择。这样，我把n个元素分为两类来讨论，前面一类有k+1个元素，后面一类有n-k-1个元素。先考虑前面一种情况，对于每一个i，易知其排列数有（n-i+1），从i=n-k到n连乘，就是（k+1）！。后面一类，每个元素都有（k+1）种选择，因此有（k+1）^（n-k-1）。由乘法定理，易得k!*(k+1)^(n-k)。

但是，这不是最终答案。上面的结果，只是说经过不超过k趟排到有序状态。并不符合题意。因此，必须保证有一个元素的反序数为k。最好的做法就是计算出不超过k-1趟就排到有序状态的排列数，减掉。很容易利用刚才的结论，得到不超过k-1趟就排到有序状态的排列数为：(k-1)!*(k)^(n-k+1)。两者想减，即得到结果：

k!*((k + 1)^(n - k) - k ^(n - k))。

最后排除异类的方法，是写这blog时候想到的。之前并不是这样做。而是去考虑一个一个剔除。想想因为之前那样的分类，对导致在剔除异类时候两类都必须考虑（第一类和第二类的反序数都有可能取得到k）。因此重新对之前的分类做了一下改变。事实上，就是把元素n-k从第一类中移到第二类。这样讨论起来特别方便。只需要考虑第二类的异类即可。