排列组合问题

1. 基本排列A(n, m)的实现
1）应用穷举是比较容易实现的
2）这里用回溯法解决此题（回溯法简介http://baike.baidu.com/view/45.htm）
算法思路：
①设置一维a数组，a在1~n中取值，出现数字相同时返回
②当i<m时，还未取m个数，i增加1后a(i)=1继续；当i=m时，输出一个A(n, m)的排列，并设置变量s统计A(n, m)排列的个数（这个其实可以用数学公式直接计算
③当a(i)<n时a(i)增1继续；当a(i)=n时回溯或调整，直到i=0时结束。
3）代码

 

// ICPC.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。// 排列组合#include "stdafx.h"// 基本排列A(n, m)的实现int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]){int n, m, i, j, flag, a[30];long s = 0;printf("排列的实现，A(n, m)/n");printf("Input n(n<10) and m(1<m<=n): /n");scanf("%d%d", &n, &m);i = 1; a[1] = 1;while (1){flag = 1;for (j = 1; j < i; j++)if (a[j] == a[i])// 出现相同元素时返回{flag = 0;break;}if (flag && i == m){s++;for (j = 1; j <= m; j++)printf("%d", a[j]);printf(" ");}if (flag && i < m){i++;a[i] = 1;continue;}while (a[i] == n)i--;// 调整或回溯或终止if (i > 0)a[i]++;elsebreak;}printf("/ns=%ld/n", s);return 0;}

 

4）程序变通
①若将a[j]==a修改为a[j]>=a就能实现从n个不同元素中取m个的组合
②把以上程序中的输出语句“printf("%d", a[j])“改为“printf("%c", a[j]+64)”，排列（或组合）输出由前n个整数改变为前n个大写英文字母输出。
③将该语句改成printf("%c", n+65-a[j])，排列（或组合）输出由前n个正整数改变为前n个大写英文字母逆序输出。

 

2.特殊情况

   问题描述：从n个不同元素中取m个元素与另n-m个相同元素的排列，如：如何从4个不同数字1、2、3、4中取2个数字与另2个“0”的排列？

   一般地，探讨实现从n个不同元素中取m（约定1<m<=n）个元素与另外n-m个相同元素组成的排列。

  设n个不同元素为数字1~n，n-m个相同元素为n-m个元素0.

  设置一维数组，应用回溯法产生由数字0~n这n+1个元素取n个数字组成的n元组，若非0元素（即数字1~n）有重复时舍去；引入了一个变量k来控制0的个数，使它不超过n-m。余下的即从数字1~n中取m个不同数字与n-m个0的排列，进行打印出来

 // ICPC.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。// 排列组合#include "stdafx.h"#define MAXN 30// 一般情况排列A(n, m)的实现// 从n个不同元素中取m个元素与n-m个相同元素的排列int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]){int n, m, a[MAXN];int i, j, k, flag;// k用于控制0的个数long s = 0;// 统计总共个数printf("排列组合的一般情况：/n");printf("从n个不同元素中取m个元素与n-m个相同元素的排列:/n");printf("Input n and m: ");scanf("%d%d", &n, &m);i = 1; a[1] = 0; k = 1;while (1){flag = 1;for (j = 1; j < i; j++)if (a[j] && a[j] == a[i]){flag = 0;break;}if (flag && k == n - m && i == n){s++;for (j = 1; j <= n; j++)printf("%d", a[j]);printf(" ");}if (flag && (k < n - m || i < n)){i++;if (k < n-m){a[i] = 0;k++;}else a[i] = 1;continue;}while (a[i] == n)// 调整或回溯或终止i--;if (i > 0){if (!a[i])k--;a[i]++;}elsebreak;}printf("/ns=%ld/n", s);return 0;}