二元关系知识小结

 

全域关系：所有有序对都包含在里面。

空关系：不包含任何的有序对。

恒等关系：设I是A上的二元关系且满足I={<a,a>|a∈A},则称I为A上的恒等关系。

自反关系：R是A上的二元关系，满足对于A中的每一个元素a ，都有（a,a）∈R.

反自反关系：R是A上的二元关系，满足对于A中的每一个元素a ，都有(a,a)不属于R.

对称关系：R是A上的二元关系，如果(a,b) ∈R,就一定有(b,a) ∈R。

反对称关系：R是A上的二元关系，当a≠b时，若(a,b) ∈R,则必有(b,a)不属于R

可传递关系：R是A上的二元关系，每当(a,b) ∈R和(b,c) ∈R时，必有(a,c) ∈R。

既不对称也不反对称：例如A={a,b,c,d},R={(a,b),(b,a),(c,d)}

既不自反也不反自反：例如：A={a,b, c},R={(a,a),(a,b)}

结论：1.空关系是反自反的，对称的，反对称的，传递的。

      2.全域关系是自反的，对称的，传递的。

      3.恒等关系是自反的，对称的，反对称的，传递的。

判定方法：

 

关系矩阵

关系图

自反

主对角线为1

每个节点都有自回路

反自反

主对角线为0

每个节点都没有自回路

对称

关系矩阵是对称的

任两节点间的弧线成对出现

反对称

以主对角线对称的元素不同时为1

任两节点间的弧线不成对出现

传递性的判定：

方法一：设集合A={a1,a2,a3…an},R是A上的二元关系，R的关系矩阵是A=[aij]n×n,令B=A*A=[bij]n×n;则R是A上传递关系的充要条件是：当bij=1时，必有aij=1.

实际上，在判断关系R是否是传递的，不必求出关系矩阵平方的每一个元素，只需要求出A中的零元素aij=0所对应的A*A的元素bij的值；因为当aij=0而bij=1时，说明R不是传递的，而对于所有的aij=0都有bij=0，这说明R是传递的。

方法二：对于关系矩阵A中的每一个非零元素aij=1，做如下操作：将A中第j行元素加（布尔加）到第i行元素上去，如果操作后，矩阵有变化，则R不是传递的，否则是传递的。

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等价关系：R是A上的二元关系，如果R是自反的，对称的，可传递的，则R是A上的等价关系。例如，“同姓氏”，“同住”“同年龄”等。

等价类：R是A上的等价关系，a属于A，由A中所有与a相关的元素组成的集合称为a关于R的等价类。

商集：R是A上的等价关系，由R的所有不同的等价类作为元素构成的集合称为A关于R的商集，记作A/R。

划分：设A是集合，A1,A2,A3…An是A的子集，如果A1∪A2∪A3…∪An=A,且Ai∩Aj=空集（i≠j）,由以A1,A2,A3…An为元素构成的集合S称为A的一个划分，每一个子集Ai称为块。

结论：如果R是A上的等价关系，则商集A/R就是A上的一个划分，等价类就是块。

定理：等价关系与划分一一对应。

相容关系：满足是自反的，对称的二元关系。

等价关系是特殊的相容关系。

相容类：设R 是A上的相容关系，B是A的子集，而且在B中任何两个元素都是相关的，则称B为相容关系R产生的相容类。

最大相容类：添加任何新元素都不再组成新的相容类，称这样的相容类为最大相容类。也可以这么理解：R是A上的相容关系，B是相容类，在差集A-B中没有元素能和B中所有元素都是相关的，则称B为最大相容类。

完全多边形：每个顶点都与其它顶点有边联结的多边形。

最大完全多边形：一个完全多边形再添加任何新的顶点后就不再是完全多边形，称这样的完全多边形为最大完全多边形。

注意：在相容关系的图形表示中，一个孤立的点，以及不是完全多边形边的的两个节点的连线，其顶点也是最大相容类。

覆盖：设A是集合，A1,A2…An都是它的非空子集，令S={A1,A2…An},如果A1∪A2∪A3…∪An=A，则S是A的覆盖。

完全覆盖：S={A1,A2…An}是集合A的覆盖，且对于S中任意元素Ai,不存在S中的其它元素Aj，使得Ai是Aj的子集。

偏序关系：自反的，反对称，可传递的二元关系。例如：整除关系，恒等关系，幂集上的包含关系，小于等于关系等。

哈斯图：1.去掉自回路；2.去掉上箭头；3.去掉传递边；后的图。（双向边变为单向）。

盖住：设R是A上的偏序关系，a≠b,(a,b)属于R，且在A中不存在元素c，使得(a,c),(c,b)都属于R，则称元素b盖住元素a.

极小元；极大元；最小元；最大元；

注意，在（A，R）中，不一定存在最大元或最小元。

上界；下界；最小上界；最大下界；