凸多边形三角划分（HNOI’97）

一、试题描述

给定一个具有N（N<50）个顶点（从1到N编号）的凸多边形，每个顶点的权均已知。问如何把这个凸多边形划分成N-2个互不相交的三角形，使得这些三角形顶点的权的乘积之和最小？

输入文件：第一行 顶点数N

          第二行 N个顶点（从1到N）的权值

输出格式：最小的和的值

          各三角形组成的方式

输入示例：5

122  123  245  231

输出示例：The  minimum  is ：12214884

          The  formation  of 3 triangle:

          3 4 5, 1 5 3, 1 2 3

二、试题分析

这是一道很典型的动态规划问题。设F[I,J]（I<J）表示从顶点I到顶点J的凸多边形三角剖分后所得到的最大乘积，我们可以得到下面的动态转移方程：

F[I,J]=Min{F[I,K]+F[K,J]+S[I]*S[J]*S[K]}     (I<K<J)

目标状态为：F[1,N]

但我们可以发现,由于这里为乘积之和，在输入数据较大时有可能超过长整形甚至实形的范围，所以我们还需用高精度计算，但这是大家的基本功，程序中就没有写了，请读者自行完成。

三、参考程序

Var S             :Array[1..50] Of Integer;

    F             :Array[1..50,1..50] Of Comp;　

    D            :Array[1..50,1..50] Of Byte;

    N             :Integer;

Procedure Init;    (输入数据)

Var I             :Integer;

Begin

  Readln(N);

  For I:=1 To N Do Read(S[I]);

End;

Procedure Dynamic;   （动态规划）

Var I,J,K         :Integer;

Begin

  For I:=1 To N Do

    For J:=I+1 To N Do F[I,J]:=Maxlongint; （赋初始值）

  For I:=N-2 Downto 1 Do

    For J:=I+2 To N Do

      For K:=I+1 To J-1 Do 

        If (F[I,J]>F[I,K]+F[K,J]+S[I]*S[J]*S[K]) Then

          Begin

            F[I,J]:=F[I,K]+F[K,J]+S[I]*S[J]*S[K];

            D[I,J]:=K;     （记录父节点）

          End;          

End;

Procedure Print(I,J:Integer);  （输出每个三角形）

Begin

  If J=I+1 Then Exit;

  Write(',',I,' ',J,' ',D[I,J]);

  Out(I,D[I,J]);

  Out(D[I,J],J);

End;

Procedure Out;  （输出信息）

Begin

  Assign(Output,'Output.Txt'); Rewrite(Output);

  Writeln('The minimum is :',F[1,N]:0:0);

  Writeln('The formation of ',N-2,' triangle:');

  Write(1,' ',N,' 'D[1,N]);

  Out(1,D[1,N]);

  Out(D[1,N],N);

  Close(Output);

End;

Begin  （主程序）

  Init;

  Dynamic;

  Out;

End.