HDU--3721[Building Roads] 枚举+求最长路O(N^2)

题意：

给一棵树，可以移动树上的一条边，但是必须保证移动之后的图还是一棵树，问如何移动才能使得移动之后的树的直径最短。

思路：

先在原树上求直径，然后枚举直径上的边(因为要使其直径变短只可能删除直径上的某条边)。u->v.这样原树就被拆成两个子树。


(1):分别求出两个子树的直径du和dv.


(2):在每棵子树中求一点x。使这点到子树中的其他任意一点的最长距离最短。由分析可知，这一点x一定在子树的直径上，且在直径的中心两点中的其中一点（证明如下）。


(3):分别求出两棵子树的那两个关键点x后。更新答案ans_l=min(ans_l,max(du,dv,ss+ee+w)).   //ss，ee是两棵子树的关键点x到其他点的最长距离；w是当前枚举边的长度


证明如下:  摘自http://hi.baidu.com/dispossessed/blog/item/660a8a294b9d62459922ed5f.html

假设要求的点不是直径上面的点，那么由于原图是一棵树，取这个点到直径的最短路径，交直径与一个点，这个点到其他点的最长距离一定大于交点到其他点的最长距离，这样

就说明了要求的点一定是直径上面的点，既然是直径上面的点，因为直径是一条链，显然它一定是中心附近的点。

PS.一开始的复杂度是O(N^3)，TLE，后然看了别人的题解后发现“关键点”只可能在直径的中心附近的两个点中的一个。这样就把复杂度降到了O(N^2).

CODE：

/*枚举+求最长路O(N^2)*//*AC代码：170ms*/#include <iostream>#include <cstdio>#include <memory.h>#include <algorithm>#include <queue>#define MAXN 2505#define INF 1e8#define min(a,b) (a<b?a:b)#define max(a,b) (a>b?a:b)using namespace std;struct edge{    int u,v,w,next;    bool ok;}E[3*MAXN];int head[MAXN];int ecnt;int dis[MAXN],road[MAXN],pre[MAXN],cnt;bool vis[MAXN],col[MAXN];int N,ans_l,cas,lenc;queue<int>Q;void Insert(int u,int v,int w){    E[ecnt].u=u;    E[ecnt].v=v;    E[ecnt].w=w;    E[ecnt].ok=true;    E[ecnt].next=head[u];    head[u]=ecnt++;}void Print(){    int i;    for(i=1;i<=N;i++)        printf("%d ",col[i]);    printf("**\n");}void Init(){    int i,u,v,w;    memset(head,-1,sizeof(head));ecnt=0;    scanf("%d",&N);    for(i=1;i<N;i++)    {        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);        u++;v++;        Insert(u,v,w);        Insert(v,u,w);    }}int BFS(int s){    int i,u,v,w,res;    while(!Q.empty()) Q.pop();    memset(vis,false,sizeof(vis));    memset(dis,-1,sizeof(dis));    memset(pre,-1,sizeof(pre));    vis[s]=true;    dis[s]=0;    Q.push(s);    while(!Q.empty())    {        u=Q.front();Q.pop();        for(i=head[u];i!=-1;i=E[i].next)        {            if(E[i].ok==false) continue;            v=E[i].v;w=E[i].w;            if(!vis[v])            {                dis[v]=dis[u]+w;                pre[v]=i;                vis[v]=true;                Q.push(v);            }        }    }res=0;for(i=1;i<=N;i++){if(dis[i]==-1) continue;if(dis[i]>res) res=dis[i];}return res;}int Go(int x,bool flag){    int i,u,v,s,e,Max,l,temp[MAXN],tcnt;    BFS(x);    s=0;Max=0;lenc=INF;    for(i=1;i<=N;i++)//染色    {        if(vis[i])        {            col[i]=flag;            if(dis[i]>Max)            {s=i;Max=dis[i];}        }    }    BFS(s);    e=0;Max=0;    for(i=1;i<=N;i++)    {        if(vis[i])        {            if(dis[i]>Max)            {e=i;Max=dis[i];}        }    }int sum=0;tcnt=0;    u=e;    while(true)    {        l=pre[u];        if(l==-1) break;        temp[tcnt++]=l;sum+=E[l].w;        u=E[l].u;    }sum/=2;int len=0;for(i=0;i<tcnt;i++){len+=E[temp[i]].w;if(len>sum) break;}//最好的点就在这两个点之间if(tcnt==0)//避免RE{lenc=0;return Max;}u=E[temp[i]].u;v=E[temp[i]].v;int lu=BFS(u);int lv=BFS(v);//printf("&%d %d %d %d %d\n",tcnt,u,v,lu,lv);lenc=min(lu,lv);    return Max;}void fuck(int ith){    int i,u,v,s,e,ss,ee,ds,de,dw,Max;    memset(col,false,sizeof(col));    //printf("%d %d \n",road[ith],road[ith]^1);    E[road[ith]].ok=E[road[ith]^1].ok=false;    s=E[road[ith]].u;    e=E[road[ith]].v;    ds=Go(s,1); ss=lenc;    de=Go(e,0); ee=lenc;    //Print();    dw=ss+ee+E[road[ith]].w;    int res=max(dw,max(ds,de));    //printf("*%d %d %d %d %d %d\n",s,e,ans_l,ds,de,dw);    ans_l=min(ans_l,res);    E[road[ith]].ok=E[road[ith]^1].ok=true;}void Run(){    int i,s,e,u,Max,l;    BFS(1);    s=1;Max=dis[1];    for(i=2;i<=N;i++)    {        if(dis[i]>Max)        {s=i;Max=dis[i];}    }    BFS(s);    e=1;Max=dis[1];    for(i=2;i<=N;i++)    {        if(dis[i]>Max)        {e=i;Max=dis[i];}    }    ans_l=Max;    cnt=0;    u=e;    while(true)    {        l=pre[u];        if(l==-1) break;        road[cnt++]=l;        u=E[l].u;    }    for(i=0;i<cnt;i++)    {        fuck(i);    }}void Solve(){    int i;    Run();//求出最长路径    printf("Case %d: %d\n",cas++,ans_l);}int main(){    int T;    cas=1;    scanf("%d",&T);    while(T--)    {        Init();        Solve();    }return 0;}