离散时间信号

 

http://wlsyzx.yzu.edu.cn/kcwz/szxhcl/kechenneirong/jiaoan/jiaoan_frame.htm 

 

http://wlsyzx.yzu.edu.cn/kcwz/szxhcl/kechenneirong/jiaoan/jiaoan1.htm

绪论

 

1．数字信号处理（DSP，digital signal processing）

信号处理是研究用系统对含有信息的信号进行处理，以获得人们所希望的信号，从而达到提取信息、便于利用的一门学科。信号处理的内容包括滤波，变换，检测，谱分析，估计，压缩，识别等一系列的加工处理

数字信号处理是指应用数字的方法处理各种类型信息的基本理论和基本算法。

信号是信息的物理表现形式。

 

2．信号的表示方法：

（1）连续时间信号：如果在讨论的时间间隔内，除若干不连续点之外，对于任意时间值都可给出确定的函数值，此信号就称为连续信号。连续信号的幅值可以是连续的，可以是离散（量化）的。幅度和时间都是连续的称为模拟信号

（2）离散时间信号：离散时间信号在时间上是离散的，只在某些不连续的规定的瞬时给出函数值，在其他时间没有定义。幅度连续，时间离散。

（3）数字信号，时间和幅度都是离散的

 

3、系统

      按所处理的信号种类的不同可将系统分为四类：

   （1）模拟系统：处理模拟信号，系统输入、输出均为连续时间连续幅度的模拟信号

   （2）连续时间系统：处理连续时间信号，系统输入、输出均为连续时间信号。

   （3）离散时间系统：处理离散时间信号，系统输入、输出均为离散时间信号。

   （4）数字系统：处理数字信号，系统输入、输出均为数字信号。

 

4．数字信号处理技术是指将DSP基本理论和基本算法付诸实现的途径和方法

 

 

 

先修课程：高等数学，信号与系统

 

 

 

第一章          时域离散信号与系统

1．2 时域离散信号（离散时间信号）——序列

一、几种常用序列

1、单位采样（抽样）序列δ(n)

δ(n)=    1 , n=0  （n为整数）

         0 , n≠0的整数（n只能取整数，非整数时无定义）       

 

 

 

 

2、        单位阶跃序列u(n)

u(n)= 1 , n≥0的整数

      0， n<0的整数(非整数时无定义)

 

     

 

     

     

问题1：δ(1)=？，δ(4)=？，δ(0)=？

 

问题2：画出δ(n-3)的图。画出δ(n 2)的图。

 

 

这就是移位运算

 

 

 

问题3：画出u(n-4) (移位运算)。画出u(n 1)的图。

 

 

问题4：用单位阶跃序列u(n)和u(n-1)表示单位采样序列δ(n)

δ(n)=u(n)-u(n-1)

问题5：用单位采样序列表示u(n)

 

      u(n)= δ(n)δ(n-1) δ(n-2) … =  

 

k=n-m，u(n)=  这就是累加的运算

 

问题6：画出u(n)-u(n-4)的图

3、        矩形序列R_N(n)

R_N(n)=   1 , 0≤n≤N-1

               0 , 其他n

 

 

     

问题1：用单位阶跃序列u(n)表示矩形序列R_N(n)

      R_N(n)=u(n)-u(n-N)

      R_N(n)= δ(n)δ(n-1) δ(n-2) …δ(n-(N-1))

          =

 

4、        实指数序列

x(n)=aⁿu(n)， a为实数

当0<a<1时，x(n)的幅度随n的增大而减小，序列是收敛的。波形图如下：

 

 

         如a>1，序列是发散的。

 

5、        正弦型序列

x(n)=A sin(nω₀φ)

或x(n)=sin(nω₀)

ω₀为数字域频率，单位弧度。
一般情况下ω₀=2π/M（M为整数）。

 

问题1：x(n)= sin(nω₀)=sin(，画出x(n)。

 

 

 

 

     

上图中ω₀=2π/10

 

问题2：正弦型序列的周期性。

      定义；如果对所有n存在一个最小的正整数N，
满足 x(n)=x(n N)，则称序列x(n)是周期性序列，
周期为N。

      求x(n)= sin(的周期。

 

x(n N)= sin(N))=sin( N)=x(n)

N=2πk，N=10k，所以周期为10

 

问题3：x(n)=sin()的周期为多少？

 

6、        复指数序列

，ω₀为数字域频率，单位弧度

当σ=0时，复指数序列表示为：

用三角函数表示： x(n)=cosω₀n jsinω₀n

用极坐标表示，x(n)=|x(n)|e^jarg[x(n)]

|x(n)|=1

arg[x(n)]=ω₀ n

 

问题1：复指数序列是周期性序列吗？

 

 

x(n N)= =

      要使x(n)=x(n N)，必须=1，即w₀N=2πk

N=2πk/ω₀

1）、  当2p/ω₀为整数时，周期为2p/ω₀

2）、  当2p/ω₀为有理数时，周期为2πk/ω₀（k为使2πk/ω₀为整数的最小值）

3）、  当2p/ω₀为无理数时，不是周期序列

 

二、序列的运算

1、        移位

2、        加法

如果两序列分别为x(n)和y(n)，两序列的和是指同序号n的序列值逐次对应相加而构成一个新的序列z(n)，表示为z(n)=x(n) y(n)

3、        乘法

两序列相乘是指同序号(n)的序列值逐项对应相乘。表示为z(n)=x(n) y(n)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4、        翻转（翻褶）

如果序列为x(n)，则x(－n)是以n=0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻转。

如图：

 

 

 

 

 

 

5、        累加

设某序列为x(n)，则x(n)的累加序列y(n)定义为。它表示y(n)在某一n₀上的值等于这一个n₀上的x(n₀)值以及n₀以前的所有n值上的x(n)值之和。

 

例：u(n)= 这就是累加的运算

 

6、        差分运算

7、        序列的时间尺度变换

8、        卷积和

 

三、用单位抽样序列来表示任意序列

 

 

 

                      (1.2.13)

例如：

 

 

 

 

     

 

四、序列的能量

      序列x(n)的能量E定义为序列各抽样值的平方和：

 

 

1．3 线性移不变（时不变）系统

一个时域离散系统（离散时间系统）是将输入序列变换成输出序列的一种运算。若以T[·]来表示这种运算，则一个时域离散系统表示为

 

时域离散系统

    T[·]

x(n)

y(n)

 

 

 

       在时域离散系统中，最重要最常用的是线性时不变系统

 

一、线性系统

满足叠加原理的系统称为线性系统

叠加原理分成可加性和比例性

1、可加性：

设，，

 如果等于

，则满足可加性

 

2、比例性（齐次性）

设，

，如果等于，则满足比例性

如果分别满足可加性和比例性，则满足叠加原理。

 

综合上面，叠加原理还可以表示为

设，

 如果等于

，则满足叠加原理

 

问题1：系统是否为线性系统

     

 

 

解：∵，

∴

    

     。∴是线性系统

 

 

问题2：y(n)=ax(n) b系统是否为线性系统

      =ax₁(n) b

   =ax₂(n) b

   =a[ b

      ≠ ∴不是线性系统

 

二、移不变系统

若系统的响应与激励加于系统的时刻无关，则称该系统为移不变系统(或与连续系统一致地称为“时不变系统”)。

也就是说，若输入x(n)产生输出为y(n)，则输入x(n-m)相应地产生输出为y(n-m)，即输入移动任意位，其输出也移动相同位数，并且其幅值却不变。若用T[·]表示系统的运算即 y(n)=T[x(n)]，如果

T[x(n-m)]=y(n-m)，则称为移不变系统。

 

问题1：证明y(n)=4x(n) 6是移不变系统

解：y(n)=T[x(n)]=4x(n) 6，

     T[x(n-m)]=4x(n-m) 6=y(n-m) ∴是移不变系统

问题2：判断y(n)=[x(n)]²是不是移不变系统

    解：y(n)=T[x(n)]= [x(n)]²  

     T[x(n-m)]= [x(n-m)]² 

     y(n-m)= [x(n-m)]² 

          ∴是移不变系统

问题3：判断y(n)=n[x(n)]²是不是移不变系统

 

 

三、单位采样响应与卷积和

1、线性移不变系统可用它的单位取样响应来表征。

设系统的初始状态为零（n<0时系统的输出y(n)=0），系统输入x(n)=δ(n)，定义这种条件下系统输出称为系统的单位取样响应。一般用h(n)表示单位取样响应。

h(n)=T[δ(n)]

 

设线性移不变系统的输入序列为x(n)，输出序列为y(n)。任一序列x(n)可写成δ(n)的移位加权和，即

则线性移不变系统的输出为

         y(n)=T[]

=(线性系统满足叠加性)

              =（移不变性）

              =x(n)*h(n)（卷积和运算）

这就是线性移不变系统的卷积和表达式。

y(n)=x(n)*h(n)=

 

 

 

线性移不变系统

     h(n)

x(n)

y(n)

 

 

 

知道h(n)后就可得到此线性移不变系统对任意输入的输出。

 

2、卷积和运算

卷积和的运算在图形上可分为四步:

（1）  翻转

先在坐标m上作出x(m)和h(m)，将h(m)以m=0的垂直轴为轴翻转成h(-m) .

（2）  移位

将h(-m)移位n，即得h(n-m)。当n为正整数时，右移n位。当n为负数时，左移n位。

（3）  相乘

再将h(n-m)和x(m)的相同m值的对应点值相乘.

（4）  相加

把以上所有对应点的乘积叠加起来,即得到y(n)值.

 

     卷积中主要运算是翻转、移位、相乘和相加，这类卷积称为序列的线性卷积。设两序列分别的长度是N和M，线性卷积后的序列长度为（N M-1）

 

四、线性移不变系统的性质

线性移不变系统的性质包括交换律、结合律以及对加法的分配律。

1、交换律

如果把单位抽样响应h(n)改作输入，而把输入x(n)改作系统的单位冲激响应，则输出y(n)不变.

图示为:

 

2、结合律

两个线性移不变系统级联后仍构成一个线性移不变系统。其单位抽样响应为两系统单位抽样响应的卷积和，且线性移不变系统的单位抽样响应与其级联的次序无关.

 图示为:

 

3、分配律

两个线性移不变系统的并联等效于一个系统,此系统的单位抽样响应等于两系统各自的单位抽样响应之和. 

图示为:

观察卷积和公式和(1.2.13)

y(n)=x(n)*h(n)=

 

 

 

 

       (1.2.13)

 得到    = x(n)*d(n)

任意序列用单位采样序列表示的公式就是一个线性卷积的公式。它表示的是序列本身与单位取样序列的线性卷积等于序列本身。

问题1：如果序列与一个移位的单位取样序列d(n-n₀)进行线性卷积，结果是什么？即

               =？

   解：=

          =x(n- n₀)

    即：x(n- n₀)=

 如果序列与一个移位的单取样序列d(n-n₀)进行线性卷积，就相当于将序列本身移位n₀。

 

五、因果系统

如果系统n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而和n时刻以后的输入序列无关，则称该系统为因果系统。如果n时刻的输出还取决于n时刻以后的输入序列，在时间上违背了因果性，系统无法实现，则系统被称为非因果系统。因此系统的因果性是指系统的可实现性。

 注意

对于线性移不变系统是因果系统的充分且必要的条件是

h(n)=0，n<0        （1.3.13）

六、稳定系统

稳定系统是指有界输入产生有界输出的系统。

一个线性移不变系统是稳定系统的充分且必要的条件是系统的单位采样响应绝对可和。即

        (1.3.14)

 

1．4线性移不变系统的输入输出描述法

——线性常系数差分方程

描述一个系统，可以不管系统内部的结构如何，将系统看成一个黑盒子，只描述或研究系统输出和输入的关系，这种方法称为输入输出描述法。对于连续时间线性时不变系统的输入和输出关系，常用线性常系数微分方程表示；而离散时间线性移不变系统的输入和输出关系则是用线性常系数差分方程来表示的。其数学形式如下:

－

    或者  ，=1

式中，x(n)和y(n)分别是系统的输入序列和输出序列，和均为常数，和项只有一次幂。因为项i最大的取值为N，i的最小取值为零，因此称为N阶差分方程。

注意：线性移不变系统的输入和输出关系

——线性常系数差分方程

倒过来，线性常系数差分方程，不一定是线性时不变系统

求解常系数线性差分方程有3种：

（1）  经典解法：这种方法类似于模拟系统中求解微分方程的方法，它包括齐次解与特解，由边界条件求待定系数，但较麻烦。

（2）  递推解（迭代）法：这种方法简单，且适合用计算机求解，但只能得到数值解，对于阶次较高的线性常系数差分方程不容易得到封闭式（公式）解答。

（3）  变换域方法：这种方法是将差分方程变换到Z域进行求解，方法简便有效，将在下章学习

一、   用递推解（迭代）法求解差分方程

求解差分方程的条件：已知输入序列，N个初始条件

例题：差分方程y(n)－ay(n-1)=x(n)。

求其单位抽样响应。

 

 

 

解：y(-1)=0，x(n)=d(n)，y(n)=h(n)

∵y(0)=ay(-1)d(0)=1

    y(1)=ay(0) d(1)=a

    y(2)=ay(1) d(2)=a²

y(3)=ay(2) d(3)=a³  …

 

 

 

 

∴h(n)=y(n)=aⁿu(n)

 

 

 总结：用差分方程求系统的单位取样响应，由于单位取样响应是当系统输入d(n)时的零状态响应，因此只要令差分方程中的输入序列为d(n)，N个初始条件都为零，其解就是系统的单位取样响应。

 

如果线性常系数差分方程的初始条件为零，则系统一定是线性时不变系统。

 

更一般的情况：如果用线性常系数差分方程所代表的系统是因果的，即：在输入x(n)=0(n<n₀)时，输出y(n)=0(n<n₀)，则用线性常系数差分方程所代表的系统一定是线性时不变系统。