大话离散时间信号处理(二)

来源：互联网发布：在淘宝买衣服好吗编辑：程序博客网时间：2024/05/22 09:46

上篇介绍了围线积分，下面来具体讲解：

围线积分

柯西定理源于曲线积分，大家只要有高等数学的基础就能明白:

若 f (z) 在 闭 单 连 通 A 上 解 析 ， l 是 A 内 一 段 光 滑 的 闭 合 曲 线 ， 那 么 \oint l f (z) d z = 0;

下面简单证明一下，由于二元函数f(z)在区域A内解析,根据柯西—黎曼（Cauchy-Rimman)公式。

{u x = v y u y = - v x (1)

z = x + y i; f (z) = u (x, y) + i v (x, y)

\oint l f (z) d z = \oint u d x - v d y + i \oint l v d x + u d y ＝ \iint D (- v x - u y) d σ + i \iint D (u x - v y) d σ = 0;

将(1)式带入可证。

\oint C d z ( z - z 0 ) n + 1 = {2 π i, n = 0 0, n \neq 0

这 里 可 以 用 高 等 数 学 的 方 法 证 明 。 其 实 想 想 就 可 以 了 。 z = z 0 + r e i θ, 0 \leq θ \leq 2 π

\oint C d z ( z - z 0 ) n + 1 = \int 2 π 0 i r e i θ r n + 1 e ( n + 1 ) θ d θ = \int 2 π 0 i r n e n θ d θ = i r n \int 2 π 0 e - i n θ d θ = i r n e - j n θ - j n ∣ ∣ ∣ 2 π 0 (n \neq 0) = {2 π i, n = 0 0, n \neq 0

言归正传，下面用我们的围线积分来解决我们所关心的问题；

X (e j w) = X (z) | z = e j w = \sum n = - \infty \infty x (n) e - j w n

x (n) = 1 2 π j \oint | z | = 1 X (z) z n - 1 d z = 1 2 π j \oint | z | = 1 x (n) e - j w n e - j w d (e j w) = 1 2 π \int π - π X (e j w) e j w n d w

D T F T [x (n)] = X (e j w) = \sum n = - \infty \infty x (n) e - j w n

I D T F T [X (e j w) = 1 2 π \int π - π X (e j w) e j w n d w

至此，我们的离散时间信号处理终于进入起步阶段，我们彻底的解决了离散时间傅里叶变换的来源。从而，以后的推导有了扎实的基础。

（所有公式都是我自己一个个敲出来的，如果有什么错误希望指出）。

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