数字信号处理学习笔记一：离散时间信号与离散时间系统

参考书：《数字信号处理-理论、算法与实现》第二版 胡广书 清华大学出版社

1. 离散时间信号的基本概念

1） 离散信号概述

    a）连续时间信号x(t) -->离散时间信号 x(nTs) -->离散时间序列x(n)-->离散信号（数字信号）

    b）用有限位的数字信号表示无限精度的模拟信号，带来量化误差

2）典型离散信号

    a）单位抽样信号：δ(n)，Kronecker函数；δ(t)，Drac函数

    b）脉冲串序列：脉冲串序列p(n)；冲激串序列p(t)；连续信号抽样的数学模型；p(n)和p(t)在变量表示和波形上的区别

    c）单位阶跃信号

    d）正弦序列：

    x(n) = Asin(2πfnTs +φ)；角频率变量Ω=2πf；圆周频率（圆频率）w =2πf/fs ，抽样频率fs = 1/Ts；

    x(n) = Asin(wn +φ)

    e）复正弦序列

    欧拉恒等式

    复正弦序列不但是离散傅里叶变换时的基函数，同时也可作为离散系统的特征函数

    f）指数序列

3）离散信号的运算

    a）信号的延迟：

x(n)、x(n-k)已出现、x(n+k)将出现；

离散信号的表示方法

    b）两个信号的相加与相乘：相同时刻的值对应相加或相乘

    c）信号时间尺度的变化：

y(t) = x(t/a),a>0；

M倍抽取：y(n) = x(Mn),M为正整数

L倍插值：y(n) = x(n/L),L为正整数

时间反转

    d）信号的分解：

信号的离散表示：x(n) = ∑anϕn,n取值从1到N

x的正交展开（正交分解）

    e）信号的变换：

一般可视为正交分解的逆过程

将信号从一个域（时域）映射到另一个域（频域）的过程

4）关于离散正弦信号的周期

判断正弦序列是否为周期函数的方法

2.信号的分类

1）据时间变量的取值方式：连续时间信号和离散时间信号

2）据周期性：周期信号和非周期信号

3）据在时刻n取值是否确定：确定性信号和随机信号

4）据能量和功率的存在性：能量信号和功率信号

能量信号：能量有限的信号

功率信号：有限功率的信号

5）据变量数目：一维信号、二维信号及多通道信号

    信号的大致分类如下：

        一维、二维、多通道数据

            确定性信号（能量、功率信号）

                周期信号

                非周期信号

            随机信号（功率信号）

                非平稳

                平稳

                    各态遍历

                    非各态遍历

3. 噪声

1）加性噪声

2）乘性噪声：倒谱、同态滤波

3）信号和噪声是相对而言，取决于研究的对象及要达到的目的

4）白噪声（模拟）、有色噪声、脉冲噪声

4）白噪声模拟：定义、性质、功率、信噪比

4. 信号空间的基本概念

1）把线性代数和泛函分析中有关空间及空间度量的概念引入信号分析与处理的理论中，一方面可得到新的信号分类方法，另一方面可把更多的数学工具引入到数字信号处理中

2）赋范线性空间

    a）赋范线性空间定义：定义了范数的线性空间

    b）赋范线性空间的性质（3条）

3）度量空间

    a）定义：定义了距离的线性空间

    b）赋范线性空间也是度量空间

4）内积空间

    a）内积定义

    b）信号的正交

    c）内积空间：赋范线性空间引入内积的定义后为...

    d）希尔伯特空间：完备的内积空间

    e）施瓦茨不等式

5. 离散时间系统的基本概念

1）线性：输入输出间满足叠加原理

2）移不变性：

    a）对给定的输入，系统的输出和输入施加的时间无关

    b）线性移不变离散时间系统 LSI系统：同时据线性和移不变性的离散时间系统

3）因果性：

    a）因果系统：任意时刻的输出只决定于现在时刻和过去时刻的输入，而和将来的时刻无关

    b）非因果系统

4）稳定性

    a）LSI系统的稳定性：若输入有界，则输出信号也有界，则称LSI系统是稳定的

    b）系统有界性的判据（2个判据）

6. LSI系统的输入输出关系

1）系统的描述：

    a）连续的线性时不变系统输入和输出的关系可用常系数线性微分方程来描述，反应系统的动态特性

    b）离散线性移不变系统：常系数线性差分方程描述，y(n) = (-∑a(k) y(n-k)，k范围为1到N）+ （∑b(r) x(n-r)，r范围为1到M）

2）LSI系统输入和输出间的关系：线性卷积

    a）y(n) = x(n) * h(n)

    b）运算性质

    c）N点序列和M点序列的卷积结果为L = N+M-1点的序列

    d）卷积的计算

3）LSI系统稳定性判据1：

    a）内容：LSI系统稳定的充要条件是h属于l1，即S =  ∑|h(n)| < 无穷，n从负无穷到正无穷

    b）证明据LSI系统输入与输出线性卷积的关系和稳定系统的定义

7. LSI系统的频率响应

1）LSI系统的频率响应：

    a）输入x(n) = exp(jwn)，则y(n) = exp(jwn)H(exp(jw)), H(exp(jw)) = ∑h(k)exp(-jwk),k范围从负无穷到正无穷

    b）系统的特征函数和特征值（系统的频率响应）：复正弦exp(jwn)为系统特征函数，H(exp(jw)) = ∑h(n)exp(-jwn)为系统的频率响应

    c）系统的转移函数：H(z) = ∑h(n)(z的-n次幂) ,n范围从负无穷到正无穷

2）h(n)、H(exp(jw))和H(z)是描述系统的三个重要函数

3）离散时间系统的研究内容：

    a）系统分析：给定系统，如何了解系统的特性。系统的特性包括线性、移不变性、物理可实现性及稳定性，还包括频率特性（低通、高通、带通、带阻）、相位特性（相位是否具有线性相位，是否具有最小相位）。此外，还研究给定输入输出的求解算法，系统的实现方法，系统内部状态的描述方法（本章，2、5章）

    b）系统综合：给定上述的一个或几个技术要求，设计出一个离散时间系统使之达到或接近这个技术指标（6、7章）

8. 确定性信号的相关函数

1）研究的意义：

    a）信号处理中经常要研究两个信号的相似性，或一个信号经过一段时间后自身的相似性，以实现信号的检测、识别与提取等

    b）相关系数、归一化的相关系数

    c）相关系数具有局限性，引入相关函数

2）相关函数的定义

    a）信号的互相关函数：rxy(m) = ∑x(n)y(n+m)，n范围为负正无穷；rxy(m) = ∑x(n-m)y(n)

    b）信号的自相关性：rxx(m) = ∑x(n)x(n+m)

    c）功率信号相关函数的定义：rxy(m) =lim ( (1/(2N+1))∑x(n)y(n+m))；rxx(m) =lim ( (1/(2N+1))∑x(n)x(n+m))

    d）周期函数的相关函数：rx(m) = rx(m+N)；rx(m) =(1/N)∑x(n)x(n+m))，n从0到N-1

3）相关函数与线性卷积的关系：rxy(m) = x(-m)*y(m)；rxy(m) = x(-m)*y(m)

4）相关函数的性质

    a）自相关函数的性质（3条）：rs(m) = rs(-m)；m=0取最大值；能量信号的自相关函数极限为0

    b）互相关函数的性质（3条）：rxy(m) = ryx(-m)；rxy(m)<= sqrt(rx(0)ry(0)) = sqrt(ExEy)；两能量信号的互相关函数极限为0

5）相关函数的应用：噪声中信号的检测、信号中隐含周期性的检测、信号相关性的检测、信号时延长度的测量、描述随机信号的重要统计量