算法记录---最小生成树【kruskal&&prim】

生成树

给定一个无向图，如果它的某个子图中任意两个顶点都互相连通并且是一棵树。

生成树不唯一

 

最小生成树：

如果边上有权值，那么使得权值和最小的生成树叫做最小生成树

构造最小生成树的准则:

1.必须使用且仅使用该网络中的n-1条边来联结网络中的 n个顶点；

2.不能使用产生回路的边；

3.各边上的权值的总和达到最小。

两种常用的构造最小生成树的方法：

1.克鲁斯卡尔算法（从边入手）

2.普里姆算法（从点入手

克鲁斯卡尔： 在剩下的所有未选取的边中，找最小边，如果不产生环（重边也算在内），就把当前这条边加入到生成树中，如果和已选取的边构成回路，则放弃，选取次小边。（判断是否成环：运用并查集）

基本思想

   先构造一个只含 n 个顶点、而边集为空的子图，把子图中各个顶点看成各棵树上的根结点（即这n个顶点都是独立的），之后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，即把两棵树合成一棵树，反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直到森林中只有一棵树，也即子图中含有 n-1 条边为止。
　　时间复杂度为为O(e^2), 使用并查集优化后复杂度为 O（eloge），与网中的边数有关，适用于求边稀疏的网的最小生成树

 

例：hdoj-1233 还是畅通工程 点击打开链接

 

 

普里姆算法：.先选取一个点作起始点，然后选择它邻近的权值最小的点（如果有多个与其相连的相同最小权值的点，随便选取一个）。如1作为起点。

基本思想：

    从连通网络 N = { V, E }中的某一顶点 u0 出发, 选择与它关联的具有最小权值的边( u0, v ), 将其顶点加入到生成树顶点集合U中。

   以后每一步从一个顶点在 U 中,而另一个顶点不在 U 中的各条边中选择权值最小的边(u, v), 把它的顶点加入到集合 U 中。如此继续下去, 直到网络中的所有顶点都加入到生成树顶点集合 U 中为止。 （从点查找）

采用邻接矩阵或邻接表作为图的存储表示  

当各边有相同权值时，由于选择的随意性，产生的生成树可能不唯一。当各边的权值不相同时，产生的生成树是唯一的。

 

例：