《算法导论》系列课后思考题之-第三章《函数的增长》(上)

练习

3.1-1 设f(n)与g(n)都是渐进非负函数。利用Θ记号的基本定义来证明max(f(n), g(n)) =Θ(f(n) + g(n))。

证明：    若证明成立，则存在n>=n0，且c1>0，c2>0：

                                  c1(f(n) + g(n)) <=  max(f(n), g(n)) <= c2( f(n) + g(n) ) 成立

                若max(f(n), g(n)) = f(n)，g(n) < f(n)，那么有

                                  c1(f(n) + g(n)) <= f(n) <= c2( f(n) + g(n) ) ，转化一下

                                                                 f(n) * (1 - c2) <= c2 * g(n)                          (1)

                                                                 f(n) * (1 - c1) >= c1 * g(n)                          (2)  

                再次转化，则有

                                                                g(n) >= f(n) * (1 - c2) / c2                            (1)

                                                                g(n) <= f(n) * (1 - c1) / c1                            (2)

               要使上面两个式子成立，显然 c2 >= 1，0 < c1 <= 1/2。逆向推之，必然成立。

               同理可证得max(f(n), g(n)) = g(n)，f(n) < g(n)的情况。

还有一种证法，由算法导论答案提供：

              存在N1，N2，当n > N1时，f(n) >= 0； 当n > N2时，g(n) >= 0。因此取N0 = max (N1， N2)，当n > N0时，有f(n) >= 0， g(n) >= 0。取c1 = 1/2，c2 = 1，由f(n)，g(n)的非负性保证，当n > N0时，有：

                                                           (f(n) + g(n)) / 2 <= max(f(n), g(n)) <= f(n) + g(n)。

             因此，得证。

3.1-2 证明对任意实常数a和b，其中b>0，有

                                                             （n+a）^b = Θ（n^b）

            证明：由二项式定理，有

                      

                     而

                         

                      显然，当n>=2|a|时，成立      

                     此时，c1= (1/2)^b，c2=(2)^b。得证

3.1-3 解释为什么"算法A的运行时间至少是O(n^2)"这句话是无意义的。

oh，啥意思？没看懂

那如果算法A的运行时间是n,O(n^2)是对于所有算法A中的输入，得到的一个最坏情况下时间的上界。也就是说n怎么也不可能超过O(n^2)吧？怎么可能是至少呢？坑爹吧

3.1-4 2^(n+1)=O(2^n)成立吗？2^(2n)=O(2^n)成立吗？

     证明：若2^(n+1)= O(2^n)成立，则有存在某个正常数c，存在常数n0>0,使对于所有的n>=n0，有

                     0<=2^(n+1) <= c2^n

                     则有2<= c，成立。

               若2^(2n) = O(2n)成立，则有某个正常数c成立，存在常数n0>0,使对于所有的n>=n0,有

                     0 <= 2^(2n) <= c 2^n

                    则有0 <= 2^n <= c，显然，对于指定的常数c，2^n是无限增长的，c不可能会比2^n大。so，也不成立。

3.1-5 证明定理3.1，对任意两个函数f(n)和g(n),f(n)=θ(g(n))当且仅当f(n) = O(g(n))和f(n)=Ω(g(n))

       证明：最怕证明定理了，nnd

                 正向证明：若f(n) = θ(g(n)),则有存在正常数c1,c2和n0>0，使对所有的n>=n0,有

                                    0 <=c1g(n) <= f(n) <= c2g(n)

                                 此时 0 <= c1g(n) <= f(n), 0 <= f(n) <= c2g(n)

                                    即有 f(n) = O(g(n)) 和 f(n) = Ω(g(n))。

                 反向证明：若有 f(n) = O(g(n)) 和 f(n) = Ω(g(n))，则分别存在正常数c1,c2,n1>0,n2>0,使得对所有的n>=n1,n>=n2，有

                                    0 <= f(n) <= c1g(n), 0 <= c2g(n) <= f(n)，

                                则存在n3>0并同时满足n3>=n2,n3>=n1，有

                                               0 <= c2g(n) <= f(n) <= c1g(n)

                  由此可证，定理3.1，over.

3.1-6 证明：一个算法的运行时间是θ(g(n))当且仅当其最坏情况运行时间是O(g(n)),且最佳情况运行运行时间是Ω(g(n))。

           证明：和3.1-5一个意思。

3.1-7 证明o(g(n)) ∩ω(g(n))是空集。

           证明：o(g(n)) = {f(n):对任意的正常数c,存在n0>0,当n>n0，有0 <= f(n) <= cg(n)}

                         ω(g(n)) = {f(n):对任意的正常数c,存在n0>0,当n>n0，有0 <= cg(n) < f(n)}，显然并集为0。

3.1-8 可以将我们的表示法扩展到有两个参数n和m的情形，其中n和m的值可以以不同的速率，互相独立地趋于无穷。对给定的函数g(n,m),O(g(n,m))为函数集O(g(n,m)) = {f(n,m):存在正整数c, n0和m0，使对所有的n>=n0或者m>=m0,有0<=f(n,m)<=cg(n,m)}。

         给出对应的Ω(g(n,m))和θ(g(n,m))的定义。

         答: Ω(g(n,m)) = {f(n,m):存在正整数c, n0和m0，使对所有的n>=n0或者m>=m0,有0<=cg(n,m)<=f(n,m)}

            θ(g(n,m)) =  {f(n,m):存在正整数c1和c2, n0和m0，使对所有的n>=n0或者m>=m0,有c1g(n,m)<=f(n,m)<=c2g(n,m)}。