《算法导论》系列课后思考题之-第三章《函数的增长》(下)

3-3 根据渐进增长率排序

 

等价类

 

b) n*sinn

 

3-4 渐进记号的性质

    设f(n )和g(n)为渐进正函数。证明或否定以下的假设：   

    a) f(n) = O(g(n))蕴含g(n)=O(f(n))

    b) f(n)+g(n)=Ф(min(f(n), g(n)))

    c) f(n)=O(g(n))蕴含lg(f(n)) = O(lg(g(n)))，其中lg(g(n))>=1且f(n)>=1对足够大的n成立

    d) f(n)=O(g(n))蕴含2^(f(n)) = O(2^g(n))

    e) f(n)=O(f(n)^2)

     f) f(n) = O(g(n))蕴含g(n) = Ω(f(n))

    g) f(n) =Ф(f(n/2))

    h) f(n) + o(f(n)) = Ф(f(n))

      证：a)f(n) = O(g(n)),即存在某个正常数c,n0>0,当n>=n0,有

                                        0<= cg(n) <=  f(n),

               此时若也存在某个正常数c',n0'>0, 当n>=n0',有

                                        0 <= c'f(n) <= g(n)，若该不等式也满足，则

                有n>=max(n0,n0')，

                                                 cg(n) <= f(n) <= (1/c')g(n),显然只有

                 f(n) = Ф(g(n))才成立，则可知题意不符。

 

              b)f(n)+g(n)=Ф(min(f(n), g(n)))，设f(n) =Ф(min(f(n), g(n)))，即f(n) <= g(n), 则存在正常数c1,c2,n0>0,当n>=n0,有

                                          c1*f(n) <= f(n) + g(n) <= c2*f(n)，转化，有

                                          (c1-1)*f(n) <= g(n) <= (c2 -1)*f(n)，要使该式成立，则需要

                                           0 <c1<= 2, 0 < g(n) <= (c2-1)f(n)。已经假设f(n) <= g(n)， f(n)、g(n)为渐进正函数, 则无论c2为何值，n>=n0, 总有g(n) >= (c2-1)f(n)。

                此时矛盾，故不成立。

                c) f(n)=O(g(n))蕴含lg(f(n)) = O(lg(g(n)))，其中lg(g(n))>=1且f(n)>=1对足够大的n成立      

                    证：  lg(f(n))、lg(g(n))不会改变函数的递增特性，因此成立。

 

             d) f(n)=O(g(n))蕴含2^(f(n)) = O(2^g(n))                           

                      证：同c)

             e) f(n)=O(f(n)^2)

                    证：假设存在正常数c, n0>0,当n>n0,有

                            0 <= f(n) <= cf(n)^2, f(n)为渐进正函数，则显然有1 <= c f(n), 故题意成立。

              f) f(n) = O(g(n))蕴含g(n) = Ω(f(n))

                    证：假设存在正常数c, n0>0,当n>n0,有

                            0 <= f(n) <= cg(n),转化，有

                            0 <= (1/c)f(n) <= g(n),显然题意成立，有g(n) = Ω(f(n))。

               g) f(n) = Ф(f(n/2))

                    证：假设存在正常数c1，c2, n0>0,当n>n0,有

                               c1*f(n/2) <= f(n) <= c2*f(n/2),

                            由于n > n/2, 有f(n) > f(n/2)，则0 <c1<=1,有

                                                  c1*f(n/2)  <= f(n)

                                                  c2 >= f(n)/f(n/2)，若n->正无穷，则存在渐进函数f(n)= a^x, f(n)->正无穷。因此不符合题意。

              h) f(n) + o(f(n)) = Ф(f(n))

                  证：假设存在正常数c1，c2, n0>0,当n>n0,有

                               c1*f(n) <= f(n)+o(f(n)) <= c2*f(n),转化，有

                               (c1-1)*f(n) <= o(f(n)) <= (c2-1)*f(n)

                        已知有任意正常数c, n1>0,当n>n1，有

                                0 <=o (f(n)) <= c*f(n)

                        由于c是任意正常数，显然与上述描述矛盾。因此不成立。