算法与数据结构-数论之辗转相除法

简介

      辗转相除法， 又名欧几里德算法（Euclidean algorithm）乃求两个正整数之最大公因子的算法。它是已知最古老的算法， 其可追溯至3000年前。

两个整数的最大公约数是能够同时整除它们的最大的正整数。辗转相除法基于如下原理：两个整数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数。

由辗转相除法也可以推出，两数的最大公约数可以用两数的整数倍相加来表示，这个重要的等式叫做贝祖等式。

原理及其详细证明

     设两数为a、b(b<a），用gcd(a,b）表示a，b的最大公约数，r=a mod b 为a除以b以后的余数，辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r）。

第一步：令c=gcd(a,b），则设a=mc，b=nc

第二步：根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c

第三步：根据第二步结果可知c也是r的因数

第四步：可以断定m-kn与n互素【否则，可设m-kn=xd，n=yd，（d>1），则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)dc，b=nc=ycd，故a与b最大公约数成为cd，而非c】

      从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r）。

证毕。

计算机算法

long gcd(long a,long b){long temp;while(b>0){temp=a%b;a=b;b=temp;}return a;}