约瑟夫环问题。。。。。

Josephus(约瑟夫)问题的数学方法:
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个
游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n
，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间
内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，
而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，
实施一点数学策略。
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出

，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

{

我们知道第一个人(编号一定是(m-1)%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组

成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%(n-1)的人开始）:

}                                   

k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2                     
并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这
个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x
变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相
信大家都可以推出来：x‘=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就
行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是
一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：

令f表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然
是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f的数值，最后结
果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f，程序也是异常简单：

[cpp] view plaincopy

1. #include <stdio.h>  
2. int main(void)  
3. {  
4. int n, m, i, s=0;  
5. printf ("N M = "); scanf("%d%d", &n, &m);  
6. for (i=2; i<=n; i++) s=(s+m)%i;  
7. printf ("The winner is %d\n", s+1);  
8. }  

这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高
。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用
数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执
行效率。