DP入门之采药问题

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采药
              输入第一行有两个整数T（1 <= T <= 1000）和M（1 <= M <= 100），用一个空格隔开，T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。
              关于输出
              输出包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。
              例子输入
                  70 3
                  71 100
                  69 1
                  1 2
              例子输出
                  3

我们用maxvalue[i][j]表示，在前i个物品中在j分钟的最大值，那么其实对于一个物品，它有取这个物品和不取这个物品两种状态

假设共有m个物品，总时间是t，times[i]表示第i个物品需要多少时间，values[i]表示第i个物品的价值，且从1开始

拿一个例子来分析

10 3

10 1

5 4

3 3

初始化maxvalue全部为0,那么结果应该是这样：

0123456789100000000000001(10,1)000000000012(5,4)000004444443(3,3)00033444777

 

 

如果只有草药1可选，则花掉全部10分钟，最大值是1
如果还有草药2可选，时间也只够在1，2中选其一，采草药2剩余的时间，也不够采草药1，但是选2比较划算，最大值是4
如果还有草药3可选，在第1‾4分钟，只够采草药3，三种草药之和还是3。
第5--7分钟有可采2和3两种选择，显然，采草药2更划算，选择不采3，最大值是4
到了第8分钟，时间够采2，3，
则最大值是两者价值之和7

 

根据上面，当对于i，取i的话，应该是maxvalue[i][j]=maxvalue[i-1][j-times[i]]+value[i]

那么因为取了i，所以在前i-1个药品中的前j-times[i]分钟的最大分钟再加上i的价值，因为选了i，所以前i-1个药品的时间应该要减去times[i]

如果不取i的话，那么maxvalue[i][j]=maxvalue[i-1][j]前j分钟取i个的最大值应该和前j分钟取前i-1的最大值相等

如果要确定maxvalue[i][j]的最大值，那么

maxvalue[i][j] = max(maxvalue[i-1][j],maxvalue[i-1][j-times[i]]+values[i]);

当然，前提条件是j>=times[i]，否则就是时间不够，不能采这个药品

代码如下：

#include <iostream>using namespace std;#define MAXM 100#define MAXT 1000int max(int a,int b){return a>b?a:b;}int times[MAXM],values[MAXM],maxvalue[MAXM][MAXT];int main(){int t,m,i,j;while(scanf("%d%d",&t,&m)!=EOF){for(i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d",×[i],&values[i]);memset(maxvalue,0,sizeof(maxvalue));for(i=1;i<=m;i++)for(j=0;j<=t;j++)if(j>=times[i])maxvalue[i][j] = max(maxvalue[i-1][j],maxvalue[i-1][j-times[i]]+values[i]);printf("%d\n",maxvalue[m][t]);}return 0;}