找出n个数组成的最长单调递增子序列( 动态规划O(nlogn) )

题目：

      给出一个由n个数组成的序列x[1..n]，找出它的最长单调上升子序列。即求最大的m和a1,a2……,am，使得a1<a2<……<am且x[a1]<x[a2]<……<x[am]。

 

分析：

      这也是一道动态规划的经典应用。一种动态规划的状态表示描述为： 
      m[i]，1≤i≤n，表示以x[i]结尾的最长上升子序列的长度，则问题的解为 max{m[i],1≤i≤n}，

 

      状态转移方程和边界条件为：
      m[i]=1+max{0, m[k]|x[k]<x[i] , 1≤k<i } 

      同时当m[i]>1时，令p[i]=k，表示最优决策，以便在计算出最优值后构造最长单调上升子序列。 

       上述算法的状态总数为O(n)，每个状态转移的状态数最多为O(n)，每次状态转移的时间为O(1)，所以算法总的时间复杂度为O(n2)。

算法改进：

        我们先来考虑以下两种情况：

       1、若x[i]<x[j]，m[i]=m[j]，则m[j]这个状态不必保留。

       因为，可以由状态m[j]转移得到的状态m[k] (k>j，k>i)，必有x[k]>x[j]>x[i]，则m[k]也能由m[i]转移得到；另一方面，可以由状态m[i]转移得到的状态m[k] (k>j，k>i)，当x[j]>x[k]>x[i]时，m[k]就无法由m[j]转移得到。

       由此可见，在所有状态值相同的状态中，只需保留最后一个元素值最小的那个状态即可。

       2、若x[i]<x[j]，m[i]>m[j]，则m[j]这个状态不必保留。

       因为，可以由状态m[j]转移得到的状态m[k] (k>j，k>i)，必有x[k]>x[j]>x[i]，则m[k]也能由m[i]转移得到，而且m[i]>m[j]，所以m[k]≥m[i]+1>m[j]+1，则m[j]的状态转移是没有意义的。

      综合上述两点，我们得出了状态m[k]需要保留的必要条件：

                       不存在i使得：x[i]<x[k]且m[i]≥m[k]。

       于是，我们保留的状态中不存在相同的状态值，且随着状态值的增加，最后一个元素的值也是单调递增的。
也就是说，设当前保留的状态集合为S，则S具有以下性质D： 
             对于任意i∈S, j∈S, i≠j有：m[i]≠m[j]，且若m[i]<m[j]，则x[i]<x[j]，否则x[i]>x[j]。

 

 

      下面我们来考虑状态转移：假设当前已求出m[1..i-1]，当前保留的状态集合为S，下面计算m[i]。

 
      1、若存在状态k∈S，使得x[k]=x[i]，则状态m[i]必定不需保留，不必计算。

       因为，不妨设m[i]=m[j]+1，则x[j]<x[i]=x[k]，j∈S，j≠k，所以m[j]<m[k]，则m[i]=m[j]+1≤m[k]，所以状态m[i]不需保留。

       2、否则，m[i]=1+max{m[j]| x[j]<x[i], j∈S}。

        我们注意到满足条件的j也满足x[j]=max{x[k]|x[k]<x[i], k∈S}。同时我们把状态i加入到S中。

        3、若2成立，则我们往S中增加了一个状态，为了保持S的性质，我们要对S进行维护，若存在状态k∈S，使得m[i]=m[k]，则我们有x[i]<x[k]，且x[k]=min{x[j]|x[j]>x[i], j∈S}。于是状态k应从S中删去。

 

 

 

      于是，我们得到了改进后的算法： 

      For i:=1 to n do
     {                       //找出集合S中的x值不超过x[i]的最大元素k；
           if x[k]<x[i] then
          {
               m[i]:=m[k]+1; 
               //将状态i插入集合S；
              //找出集合S中的x值大于x[i]的最小元素j；
             if m[j]=m[i] then    //将状态j从S中删去；
         }
    }

 

       从性质D和算法描述可以发现，S实际上是以x值为关键字（也是以m值为关键字）的有序集合。若使用平衡树实现有序集合S，则该算法的时间复杂度为O(n*log2n)。（每个状态转移的状态数仅为O(1)，而每次状态转移的时间变为O(log2n)）。