算法导论第九章习题9.3-7

在O(n)时间范围内找出数组a[n]中位数相邻的k个数字

思路：简单的思路是先找出中位数（n+1）/2然后依次找第（n+1）/2-1小数字、（n+1）/2-2小数字、（n+1）/2-3.小数字。。。。（n+1）/2-k/2小数字，再找第（n+1）/2+1小数字、（n+1）/2+2小数字、（n+1）/2+3.小数字。。。。（n+1）/2+（k+1）/2小数字。但是该算法时间复杂度为O(kn)。

改进思路为：先找中位数，将数组按照中位数进行分割，数组的前半部分找第（n-1）/2-k/2小的数字，按照该数字对前半部分进行分割，则该数字到中位数之前的数字有k/2个数字，这些数字为与中位数相邻且小于中位数的前k/2个数字。数组的后半部分找出第（k+1）/2小的数字，然后按照该元素对后半部分进行分割，则中位数后一元素到该元素的（k+1）/2个元素为与中位数相邻且大于中位数的数字。该算法共调用三次分割选择函数Select，而该函数的时间复杂度为O(n)，所以时间复杂度为O(n)。其具体代码如下：

//例题9.2中的算法的期望时间复杂度为O(n)，而在9.3的例题中的最坏运行时间复杂度为O(n)。//该算法实现思路是将数组每五个元素分为一组，最后一组可能不足五个。//选出每一组中的中位数，然后选出这些中位数的中位数。根据这个中位数对数组进行划分为两组。//然后再按照9.。2中的方法递归调用划分寻找第i小的数。//该算法的对比于9.2的改进之处在于对partition方法进行了优化，而不是随进选择数组进行划分。#include<iostream>using namespace std;//插入排序不解释void Insert_sort(int a[],int p,int r)  {      int i,j,key,length;length=r-p+1;    for(i=p+1;i<=r;i++)      {          key=a[i];          j=i-1;          while(key<a[j])          {              int temp;              temp=a[j+1];              a[j+1]=a[j];              a[j]=temp;              j=j-1;              if(j<p)              {                  break;              }          }      }  }  //按照中位数的中位数进行分割int Partition(int a[] ,int p,int r){int i=p,j=0,temp,num,b[100];//将a中每五个元素进行插入排序，并找出五个元素中的中位数放到b中while(1){if(i>r){break;}if((i+4)<=r){Insert_sort(a,i,i+4);b[j++]=a[i+2];}else{Insert_sort(a,i,r);b[j++]=a[(r+i)/2];}i+=5;}j=j-1;//对b中的元素进行排序Insert_sort(b,0,j);//找到b中的中位数num=b[j/2];//将a中的num与a[r]替换for(i=0;i<=r;i++){if(num==a[i])break;}temp=a[i];a[i]=a[r];a[r]=temp;//根据找到的num对数组进行划分j=p-1;for(i=p;i<r;i++){if(a[i]<num){j++;temp=a[i];a[i]=a[j];a[j]=temp;}}temp=a[r];a[r]=a[j+1];a[j+1]=temp;return j+1;}//按照特定的数字num进行分割int Partition1(int a[] ,int p,int r,int num){int i,j=0,temp;//将a中每五个元素进行插入排序，并找出五个元素中的中位数放到b中//将a中的num与a[r]替换for(i=0;i<=r;i++){if(num==a[i])break;}temp=a[i];a[i]=a[r];a[r]=temp;//根据找到的num对数组进行划分j=p-1;for(i=p;i<r;i++){if(a[i]<num){j++;temp=a[i];a[i]=a[j];a[j]=temp;}}temp=a[r];a[r]=a[j+1];a[j+1]=temp;return j+1;}//选择第num小的数字int Select(int a[],int p,int r,int num){if(p==r){return a[p];}int q=Partition(a,p,r);int k=q-p+1;if(k==num){return a[q];}else if(num<k){return Select(a,p,q-1,num);}else{return Select(a,q+1,r,num-k);}}void SelectKthNearTheMiddle(int a[],int b[],int p,int r,int k){int i,j;if(k<=0){cout<<"wrong number!"<<endl;return ;}int length,t,s,q;length=r-p+1;//找出中位数为第(length+1)/2小的数字s=Select(a,p,r,(length+1)/2);//本来打算调用Partition1将数组从s值处分割为两部分//调试时发现该步骤 是多余的，因为在Select(a,p,r,(length+1)/2)中已经//把数组按照s分割为两部分了，下面调用的两Select跟此处的一样，不用再调用Partition1//Partition1(a,p,r,s);//在中位数之前的数组中找出第(length-1)/2-(k)/2+1的元素//该元素到中位数之前的数字为接近中位数的k/2个数字t=Select(a,p,p+(length-1)/2-1,(length-1)/2-(k)/2+1);//找出中位数之后数组中第（k+1）/2小的元素，中位数之后起的第一个数字到该元素为//接近中位数的（k+1）/2个数字q=Select(a,p+(length-1)/2+1,r,(k+1)/2);//将中位数元素前一个元素到t赋给数组b的前半部分，此复制为倒序，所以j是从(k)/2-1开始到0的j=(k)/2-1;for(i=p+(length-1)/2-1;i>=p+(length-1)/2-(k)/2;i--){b[j--]=a[i];}//将中位数元素后一个元素到q赋给b的后半部分j=(k)/2;for(i=p+(length-1)/2+1;i<=p+(length-1)/2+(k+1)/2;i++){b[j++]=a[i];}}int main(){int a[15]={16,48,748,742,1635,2,56,48,685,4596,3,4,1,6,5};int b[100];SelectKthNearTheMiddle(a,b,0,14,5);for(int i=0;i<5;i++){cout<<b[i]<<" ";}cout<<endl;return 0;}