编程之美1.12 —— 寻找满足条件的两个数、三个数

来源：互联网发布：战地4数据编辑：程序博客网时间：2024/04/30 12:10

http://blog.csdn.net/linyunzju/article/details/7720413

这篇文章总结的比较好，代码也写的比较清晰。

原创部分：

上面的博文，在应用“两个下标夹逼”解决“三个数字”问题、能否“重复使用数字”两个方面，给出了非常好的解释，代码清晰明了，不愧是浙大才子。下面，自己补充一些东西。

1、用排序+查找思路解决“三个数字”问题。

先确定两个数字，是O(N^2)，再在剩下的排好序的数组中二分查找需要的数字，最后的时间复杂度是：O(N^2*logN)

2、如果完全相等的一对数字找不到，能否找出和最接近的解？

①应用排序+查找的思路：

先排序，需要O(NlogN),然后取每一个元素a[i]，为了找到a[j],使和最接近sum，即变成在排好序的数组中找一个数，使该数字与a[i]最接近。可以想象，使用二分查找，如果sum-a[i]存在于数组中，则可以直接命中；如果不存在，则查找的区间最终缩小到两个数字，一个大于sum-a[i]，一个小于sum-a[i]，则这两个数字中比较接近的保留下俩，作为a[i]的最佳匹配对象，如此遍历所有的i，选出误差最小的i即可。注意，这里不需要存储所有的误差，只需要存储当前遍历的i，j中误差最小值及相应的i，j即可。时间复杂度依然是：O(NlogN +N*logN) = O(NlogN)。

②两个下标夹逼思路：

同样是先排序，然后取收尾两个下标i=0，j=N-1，求和并保存其误差，若误差为正，则j--，若误差为负，则i++。在满足i<j的条件下，如此循环下去，找出误差绝对值最小的一组ij即可。注意，这里不需要存储所有的误差，只需要存储当前遍历的i，j中误差最小值及相应的i，j即可。

转载部分：

问题：

1. 快速找出一个数组中的两个数，让这两个数之和等于一个给定的值。

2. 快速找出一个数组中的三个数，让这三个数之和等于一个给定的值。

1. 解法：算法复杂度为O(nlogn)。先用快速排序对数组排序，让后用双指针（双索引）法对排序好的数组进行反向遍历，并且遍历的方向不变。（若是计算两个数的和，则初始化为i=0,j=n-1，若是计算两个数的差，则初始化为i=0,j=1）

之所以这样遍历方式能成功，是因为排序后，若ai+aj<sum，则ai+ak<sum(k=i,i+1...j)，而i之前j之后的情况已遍历过，所以只有i++才可能有等号的情况；若ai+aj>sum，则ak+aj>sum(k=i,i+1...j)，而i之前j之后的情况已遍历过，所以只有j--才可能有等号的情况。

[cpp] view plaincopy
#include <iostream>  
#include <algorithm>  
using namespace std;  
  
#define MAXN 1001  
int A[MAXN];  
  
// 总的时间复杂度为O(nlogn)  
int main()  
{  
    int n, sum, i, j;  
    cin >> n >> sum;  
    for (i=0; i<n; i++)  
        cin >> A[i];  
    // 快速排序O(nlogn)  
    sort(A, A+n);  
    // 双索引反向遍历  
    i=0; j=n-1;  
    // 每个数只能用一次（若每个数可以用多次，则用<=）  
    while (i<j)  
    {  
        int plus = A[i]+A[j];  
        if (plus == sum)  
        {  
            printf("(%d,%d) ",A[i],A[j]);  
            i++, j--;  
        }  
        else if (plus < sum)  
            i++;  
        else  
            j--;  
    }  
}  

2. 解法：时间复杂度为O(n^2)。如果数组已排序，利用解法1的双指针遍历法，可以在O(n)的时间内找到两个数之和等于一个給定的数。我们假设找到的三个数ai,aj,ak有ai<=aj<=ak，要让ai+aj+ak=sum，也就是要ai+aj=sum-ak，设subsum=sum-ak，很容易发现subsum的值只有n个，而确定ai+aj=subsum中的ai,aj只需要O(n)的时间，所以总的时间复杂度为O(nlogn+n*n)=O(n^2)

[cpp] view plaincopy
#include <iostream>  
#include <algorithm>  
using namespace std;  
  
#define MAXN 1001  
int A[MAXN];  
  
int main()  
{  
    int n, sum, i, j, k;  
    cin >> n >> sum;  
    for (i=0; i<n; i++)  
        cin >> A[i];  
    sort(A, A+n);  
    for (k=0; k<n; k++)  
    {  
        i=0; j=k-1;  
        if (k==i) i++;  
        if (k==j) j--;  
        int subsum = sum-A[k];  
        while (i<j)  
        {  
            int plus = A[i]+A[j];  
            if (plus == subsum)  
            {  
                printf("(%d,%d,%d) ",A[i],A[j],A[k]);  
                i++, j--;  
            }  
            else if (plus < subsum)  
                i++;  
            else  
                j--;  
            if (k==i) i++;  
            if (k==j) j--;  
        }  
    }  
}  

若允许每个数被多次选取，只需稍微改下代码，具体如下：

[cpp] view plaincopy
#include <iostream>  
#include <algorithm>  
using namespace std;  
  
#define MAXN 1001  
int A[MAXN];  
  
int main()  
{  
    int n, sum, i, j, k;  
    cin >> n >> sum;  
    for (i=0; i<n; i++)  
        cin >> A[i];  
    sort(A, A+n);  
    for (k=0; k<n; k++)  
    {  
        i=0; j=k;  
        //if (k==i) i++;  
        //if (k==j) j--;  
        int subsum = sum-A[k];  
        while (i<=j)  
        {  
            int plus = A[i]+A[j];  
            if (plus == subsum)  
            {  
                printf("(%d,%d,%d) ",A[i],A[j],A[k]);  
                i++, j--;  
            }  
            else if (plus < subsum)  
                i++;  
            else  
                j--;  
            //if (k==i) i++;  
            //if (k==j) j--;  
        }  
    }  
}  

xjs.xjtu@gmail.com

2012-09-02