数据结构——并查集

来源：互联网发布：c语言算术运算编辑：程序博客网时间：2024/05/13 09:22

特点：

实现简单，效率较高。

功能：

1，集合的快速合并；

2，快速查找某元素所在集合。

优化：

1，合并优化；

2，路径压缩。

效率：

◆按秩合并：时间：O(m*lg(n))

◆路径压缩：最坏: O(n+lg(n)）

◆按秩合并和路径压缩：O(mα(n))

经过启发式合并和路径压缩之后的并查集，执行m次查找的复杂度为O(mα(n))

l其中α(n)是Ackermann函数的某个反函数，增长速度及其缓慢。α(n)<=4。所以并查集的单次查找操作的时间复杂度也几乎是常数级的。

n为所有元素个数，m为关系个数。所以，经过优化后效率可达线性。

核心函数：

       int Find(int x){            if (tree[x].parent != x){                 tree[x].parent = Find(tree[x].parent);  //路径优化            }            return tree[x].parent;       }       void Merge(int a, int b, int p, int q, int d){            if (tree[q].depth > tree[p].depth) tree[p].parent = q;     //启发式合并            else{                  tree[q].parent = p;                  if (tree[p].depth == tree[q].depth) tree[p].depth++;            }       }

典型应用：

1. 普通并查集；POJ-1611、POJ-2524、POJ-2236

2. 种类并查集；POJ-1703、POJ-2492、POJ-1182、POJ-1733、POJ-1988、POJ-1417

举例：

POJ 1182 食物链
       http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1182
       题目告诉有3种动物，互相吃与被吃，现在告诉你m句话，其中有真有假，叫你判断假的个数(如果前面没有与当前话冲突的，即认为其为真话)
这题有几种做法，我以前的做法是每个集合(或者称为子树，说集合的编号相当于子树的根结点，一个概念)中的元素都各自分为A, B, C三类，在合并时更改根结点的种类，其他点相应更改偏移量。但这种方法公式很难推，特别是偏移量很容易计算错误。
下面来介绍一种通用且易于理解的方法：
首先，集合里的每个点我们都记录它与它这个集合(或者称为子树)的根结点的相对关系relation。0表示它与根结点为同类，1表示它吃根结点，2表示它被根结点吃。
那么判断两个点a, b的关系，我们令p = Find(a), q =Find(b)，即p, q分别为a, b子树的根结点。
       1. 如果p != q，说明a, b暂时没有关系，那么关于他们的判断都是正确的，然后合并这两个子树。这里是关键，如何合并两个子树使得合并后的新树能保证正确呢？这里我们规定只能p合并到q(刚才说过了，启发式合并的优化效果并不那么明显，如果我们用启发式合并，就要推出两个式子，而这个推式子是件比较累的活…所以一般我们都规定一个子树合到另一个子树)。那么合并后，p的relation肯定要改变，那么改成多少呢？这里的方法就是找规律，列出部分可能的情况，就差不多能推出式子了。这里式子为 : tree[p].relation = (tree[b].relation – tree[a].relation +2 + d) % 3; 这里的d为判断语句中a, b的关系。还有个问题，我们是否需要遍历整个a子树并更新每个结点的状态呢？答案是不需要的，因为我们可以在Find()函数稍微修改，即结点x继承它的父亲(注意是前父亲，因为路径压缩后父亲就会改变)，即它会继承到p结点的改变，所以我们不需要每个都遍历过去更新。
       2. 如果p = q，说明a, b之前已经有关系了。那么我们就判断语句是否是对的，同样找规律推出式子。即if ( (tree[b].relation + d + 2) % 3 != tree[a].relation ), 那么这句话就是错误的。
       3. 再对Find()函数进行些修改，即在路径压缩前纪录前父亲是谁，然后路径压缩后，更新该点的状态(通过继承前父亲的状态，这时候前父亲的状态是已经更新的)。
       核心的两个函数为：
       int Find(int x)
       {
           int temp_p;
          if (tree[x].parent != x)
          {
             // 因为路径压缩，该结点的与根结点的关系要更新(因为前面合并时可能还没来得及更新).
             temp_p = tree[x].parent;
             tree[x].parent = Find(tree[x].parent);
             // x与根结点的关系更新(因为根结点变了)，此时的temp_p为它原来子树的根结点.
             tree[x].relation = (tree[x].relation + tree[temp_p].relation) % 3;
          }
          return tree[x].parent;
       }

      void Merge(int a, int b, int p, int q, int d)
       {
          // 公式是找规律推出来的.
          tree[p].parent = q; // 这里的下标相同，都是tree[p].
          tree[p].relation =(tree[b].relation – tree[a].relation + 2 + d) % 3;
       }

而这种纪录与根结点关系的方法，适用于几乎所有的并查集判断关系(至少我现在没遇到过不适用的情况…可能是自己做的还太少了…)，所以向大家强烈推荐～～

程序代码：

#include <stdio.h>#include <iostream>using namespace std;struct point{    int parent;    int kind;} ufind[50010];void init(int n);int find(int index);void unions(int rootx, int rooty, int x, int y, int dkind);int main(){    int n,k,count=0,d,x,y;scanf("%d%d",&n,&k);            init(n);        while(k--)        {            scanf("%d%d%d",&d,&x,&y);            if(x>n || y>n)                count++;            else if(d==2 && x==y)                    count++;            else            {                int rx=find(x);                int ry=find(y);                if( rx!=ry )                    unions(rx,ry,x,y,d-1);                else                {                    if(d==1 && ufind[x].kind!=ufind[y].kind)                        count++;                    if(d==2 && (ufind[x].kind-ufind[y].kind+3)%3!=1)                        count++;                }            }        }        printf("%d\n",count);            return 0;}void init(int n){    for(int i=1;i<=n;i++)    {        ufind[i].parent=i;        ufind[i].kind=0;    }}int find(int index){    int temp;    if( index==ufind[index].parent )        return index;    temp = ufind[index].parent;    ufind[index].parent = find(ufind[index].parent);    ufind[index].kind = (ufind[temp].kind+ufind[index].kind)%3;    return ufind[index].parent;}void unions(int rootx, int rooty, int x, int y, int dkind){    ufind[rooty].parent=rootx;    ufind[rooty].kind=(-dkind+(ufind[x].kind-ufind[y].kind)+3)%3;}

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