hdu 4055 Number String

题意：由数字1到n组成的所有排列中，问满足题目所给的n-1个字符的排列有多少个，如果第i字符是‘I’表示排列中的第i-1个数是小于第i个数的。如果是‘D’，则反之。

定义dp[i][j]表示在这个排列中第i个数字以j结尾的，满足条件的子排列有多少个。

如果第i个字符是‘I’，那么明显可以得到dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j-2]+……+dp[i-1][1]。

如果第i个字符是‘D’，那么如何得到由前面的状态dp[i][j]呢？有这个一个有趣的性质，比如对于一个排列{1，3，2}，现在我们在递推得到dp[4][2]，也就是要把2添加到这个排列的最后面，现在把当前排列即{1，3，2}中大于等于2的全部加上一得到{1，4，3}，这样是仍然不会改变题目给出的关系的，然后我们再把2添加到最后，{1，4，3，2}，就可以得到dp[4][2]了，即dp[i][j]={dp[i-1][i-1]+dp[i-1][i-2]+……+dp[i-1][j]}。

这样的转移是n^3的，可以用前缀和优化，就可以降低到n^2。

#include <iostream>#include <cstring>#include <cstdio>using namespace std;const int N=1005;const int mod=1000000007;char str[N];int dp[N][N],sum[N][N];int main(){while(scanf("%s",str+2)!=EOF){memset(dp,0,sizeof(dp));memset(sum,0,sizeof(sum));int n=(int)strlen(str+2);dp[1][1]=sum[1][1]=1;for(int i=2;i<=n+1;i++){for(int j=1;j<=i;j++){if(str[i]=='I'||str[i]=='?') dp[i][j]=(dp[i][j]+sum[i-1][j-1])%mod;if(str[i]=='D'||str[i]=='?') {int tmp=((sum[i-1][i-1]-sum[i-1][j-1])%mod+mod)%mod;dp[i][j]=(dp[i][j]+tmp)%mod;}sum[i][j]=(dp[i][j]+sum[i][j-1])%mod;}}printf("%d\n",sum[n+1][n+1]);}return 0;}