HDU 4055 Number String (线性dp)

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题目分析：对于一个n个数排列，用I 表示后一个数比前一个数大， 用D表示后一个数比前一个数小。例如：123 就是II 。312就是DI。？表示可以I 或者D。给I,D,?组成的程度为n的序列，找出这个序列所能表示的全排列的个数，每个数字只能出现一次。

显然如果序列的长度为n ， 则为1 ~ n+1的排列。

设dp[ i ][ j ] 为 前i - 1 已经排列好 ， 第i 位为j的排列数。sigma dp[ n + 1 ][ j ] , j 从1 到n+1 ，为要求的结果。

如果第i位对应 ‘ I ’ ，则dp[ i ][ j ] = dp[ i - 1][ j - 1] + dp[ i - 1][ j - 2] + …… + dp[ i - 1 ][ 1 ] ;

考虑第i位时，前面i - 1 位都已经排好，且第i - 1位的数字 小于 j 的排列都可以在第i位放j ， 所以可得上式。

如果第j位对应‘D’ ， 则dp[ i ][ j ] = dp[ i - 1][ i - 1] + dp[ i - 1][ i - 2 ] + …… + dp[ i - 1 ][ j ] ;

对于第 i - 1 位的数字大于等于 j  的排列 ， 将前 i - 1 位中大于等于j的数字都加1 ，前面的情况依然成立 ， 且第 i 位可以放 j 。

例如 （1 ，3 ， 2） 。第4位对应D , 想放2 。将前三位大于等于2的加1，得到  （1 ， 4， 3 ）。将2放在后面，得到（1，4，3，2）。  所以第i - 1 位大于等于 j 的都可以入选 ， 因为加1之后 ， 肯定比 j 大。

如果第i为对应‘？’ ， 则以上两种情况相加。

用sum[ i ][ j ] 表示 dp[ i ][ j ] + dp[ i ][  j - 1 ] + …… + dp[ i ][ 1 ] 

则，状态转移可写成：

对应  I 时 ， dp[ i ][ j ] = sum[ i - 1][ j - 1]  

对应 D时 ，dp[ i ][ j ] = sum[ i - 1][ i - 1] - sum[ i - 1][ j - 1]

对应 ？时 ， dp[ i ][ j ] = sum[ i - 1 ][ i - 1]

再注意一下输入的序列与位数的对应。

AC_CODE

const int mod = 1000000007;const int Max_N = 1004;LL dp[Max_N][Max_N];LL sum[Max_N][Max_N];int main(){    char s[Max_N];    while(scanf("%s",s) != EOF){        int n = strlen(s);        int i , j  , k;        dp[1][1] = sum[1][1] = 1;        for(i = 2;i <= (n+1);i++){            for(j = 1;j <= i;j++){                if(s[i-2] == 'I') dp[i][j] = sum[i - 1][j - 1]%mod;                else if(s[i-2] == 'D') dp[i][j] = (sum[i-1][i-1] - sum[i-1][j-1] + mod)%mod;                else dp[i][j] = sum[i-1][i-1];                sum[i][j] = (sum[i][j-1] + dp[i][j])%mod;            }        }        printf("%lld\n",sum[n+1][n+1]);    }    return 0;}