HDU 4055 Number String dp

题意大概是给一个长度为n，n<=1000，只包含'I','D','?'的字符串，问你用1~n+1,这n+1个数能够成多少序列使得它的增减变化为这个给定的字符串。其中'I'表示后一个数比前一个大，'D'表示后一个数比前一个小，'?'表示大小任意。

解题思路：首先想到了一个dp的n^3的算法，状态dp[i][x]表示如果第i个数是剩下的所有数的第x大的，那么之后的序列还有多少种构造方法。

那么很容易知道，最后的答案是res=dp[1][1]+dp[1][2]+dp[1][3]+...+dp[1][n+1];

状态转移也很容易，if (从i到i+1是增) dp[i][x]=dp[i+1][x]+dp[i+1][x+1]+...+dp[i+1][n-i+1];

if (从i到i+1是减) dp[i][x]=dp[i+1][1]+dp[i+1][2]+...+dp[i+1][x-1];

if (从i到i+1是？) dp[i][x]=dp[i+1][1]+dp[i+1][2]+...+dp[i+1][n-i+1];

那这样n^3的算法就得到了，遗憾的是这个n是1000，无疑会TLE！

接下来要做的就是优化，从上面的转移方程不难看出来是可以优化的，

if (从i到i+1是增) dp[i][x]=dp[i+1][x]+dp[i][x+1];

if (从i到i+1是减) dp[i][x]=dp[i][x-1]+dp[i+1][x-1];

if (从i到i+1是？) dp[i][x]==dp[i][1]==dp[i][2]==...==dp[i][n-i+2];

这样就从n^3优化到n^2,可解了！

我在做的时候，先是用dfs写的dp，Runtime Error(STACK_OVERFLOW)，我估算了一下最坏情况可能会进栈n*n次，无奈，又改了写法，终于AC。还有对于取模运算，如果是每一次计算都用x%=mod的话是1500ms+; 如果用if (x>=mod) x-=mod;的话是900ms++；所以还是有点区别的。

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <string.h>using namespace std;const int maxn=1100;const int mod=1000000007;char s[maxn];int dp[maxn][maxn];int res,n;int main(){    while (~scanf("%s",s))    {        n=strlen(s);        memset(dp,0,sizeof(dp));        for (int i=1;i<=n+1;i++)        dp[n+1][i]=1;        res=0;        for (int i=n;i>0;i--)        {            char c=s[i-1];            if (c=='I')            {                for (int j=n-i+1;j>=0;j--)                {                    dp[i][j]=dp[i][j+1]+dp[i+1][j];                    if (dp[i][j]>=mod)                        dp[i][j]-=mod;                }            }            if (c=='D')            {                for (int j=2;j<=n-i+2;j++)                {                    dp[i][j]=dp[i][j-1]+dp[i+1][j-1];                    if (dp[i][j]>=mod)                        dp[i][j]-=mod;                }            }            if (c=='?')            {                for (int j=1;j<=n-i+1;j++)                {                    dp[i][1]+=dp[i+1][j];                    if (dp[i][1]>=mod)                        dp[i][1]-=mod;                }                for (int j=2;j<=n-i+2;j++)                {                    dp[i][j]=dp[i][1];                }            }        }        for (int i=1;i<=n+1;i++)        {            res+=dp[1][i];            if (res>=mod) res-=mod;        }        printf("%d\n",res);    }    return 0;}