zoj 1196区间动态规划

Sample Input

6 356121920270 0

Sample Output

Chain 1Depot 1 at restaurant 2 serves restaurants 1 to 3Depot 2 at restaurant 4 serves restaurants 4 to 5Depot 3 at restaurant 6 serves restaurant 6Total distance sum = 8

Source

Southwestern European Regional Contest 1998

 

 

【题目大意】

一条公路上有n个旅馆，选出其中k个设置仓库，一个仓库可服务若干个旅馆，一个旅馆只需一个仓库服务。问在哪几个旅馆设置仓库，每个仓库服务哪些旅馆，可使得旅馆到仓库的总距离最小，并求出总距离（长理只要求求最后一步）。

【数据范围】

1 <= n <= 200, 1 <= k <= 30, k <= n

【解题思想】

1、此题属于明显动态规划题，关键点是找状态转移方程。

2、可以用sum[i][j]表示前i个旅馆，设置j个仓库得到的距离和最小值，那么sum[n][k]即为所求。

3、找sum[i][j]的子结构，假设前j-1个仓库服务第1个到第k个旅馆，则最后一个仓库服务第k+1个到第i个旅馆。

4、可以用one[i][j]表示一个仓库服务第i个到第j个旅馆，到这个仓库距离和的最小值。

5、则得到状态转移方程：sum[i][j]=min(sum[k][j-1]+one[k+1][i]) (j-1<=k<=i-1，min表示所有k取值得到的值中的最小值)。

6、问题转换为了求one[i][j]，即在第i到第j家旅馆中设置一个仓库的总距离。

7、假设i到j共有奇数家旅馆，我们尝试将仓库放置在中间旅馆，即旅馆(i+j)/2，假设将仓库左移距离x，则右半边所有旅馆到仓库距离均加x，而只有部分左半边旅馆距离减少了x，剩下的减少均小于x，甚至不减少。因此可以得到，将仓库从中间位置左移到任何位置总距离都会增加，右移同理，因此仓库放到旅馆(i+j)/2最合适。

8、假设i到j共有偶数家旅馆，容易得到将仓库放到(i+j-1)/2和(i+j+1)/2得到的总距离相等（对称性），若将仓库放到(i+j-1)/2，并左移，则用7相似的想法可得知总距离增大，右移情况同理，由此得知仓库放到(i+j-1)/2这个位置即可满足总距离最小。

9、由7、8得到one[i][j]实际上时将仓库放到(i+j)/2取整位置可得到最小的总距离。

10、数据范围较小，我们可以计算出一切one[i][j]的组合。

 

11、由于poj还要求输出在哪几个旅馆设置仓库，每个仓库服务哪些旅馆，因此还需要存储动态规划路径。

12、可用at[i][j],from[i][j],to[i][j]分别表示sum[i][j]得到最小值时最后一个仓库的位置、服务的起始位置和服务的终止位置。

13、通过递归输出结果。

 

#include<stdio.h>#include<algorithm>#include<string.h>using namespace std;const int INF=100000000;int r[300],sum[300][40],one[300][300];int from[300][40],to[300][40],at[300][40];int output(int i,int j){    if(j<=0||i<=0)return 1;    int num=output(from[i][j]-1,j-1);    printf("Depot %d at restaurant %d serves ",num,at[i][j]);    if(from[i][j]==to[i][j])printf("restaurant %d\n",from[i][j]);       else printf("restaurants %d to %d\n",from[i][j],to[i][j]);    return num+1;}    int main(){    int n,K,i,j,k,middle;    int iCase=0;    while(scanf("%d%d",&n,&K)!=EOF)    {   iCase++;        if(n==0&&K==0)break;        for(i=1;i<=n;i++)  scanf("%d",&r[i]);        memset(one,0,sizeof(one));        memset(sum,0,sizeof(sum));        for(i=1;i<=n;i++)        {  for(j=1;j<=n;j++)  {                  middle=(i+j)/2;                   //for(k=i;k<middle;k++)one[i][j]+=r[middle]-r[k];                   //for(k=middle+1;k<=j;k++)one[i][j]+=r[k]-r[middle];       for(k=i;k<=j;k++)one[i][j]+=abs(r[middle]-r[k]);                         }                }          for(i=1;i<=n;i++)  sum[i][0]=INF; for(i=1;i<=n;i++)        {     for(j=1;j<=i&&j<=K;j++)               {         sum[i][j]=INF;                  for(k=j-1;k<=i-1;k++)                  {                          int tmp=sum[k][j-1]+one[k+1][i];                      if(tmp<sum[i][j])                      {                          sum[i][j]=tmp;                          from[i][j]=k+1;                          to[i][j]=i;                          at[i][j]=(k+1+i)/2;                      }                      }                          }                    }            printf("Chain %d\n",iCase);        output(n,K);        printf("Total distance sum = %d\n\n",sum[n][K]);            }           return 0;}