区间型动态规划
来源:互联网 发布:模具设计软件 编辑:程序博客网 时间:2024/05/16 05:14
题目来源于codevs
石子归并
题目描述 Description
有n堆石子排成一列,每堆石子有一个重量w[i], 每次合并可以合并相邻的两堆石子,一次合并的代价为两堆石子的重量和w[i]+w[i+1]。问安排怎样的合并顺序,能够使得总合并代价达到最小。
输入描述 Input Description
第一行一个整数n(n<=100)
第二行n个整数w1,w2…wn (wi <= 100)
输出描述 Output Description
一个整数表示最小合并代价
样例输入 Sample Input
4
4 1 1 4
样例输出 Sample Output
18
分析:
动态规划题
首先我们可以处理出从各段的和。
然后对于f[i][j] 表示 从 i 到 j 合并得到的最小值(代价)
于是f[i][j] = min(f[i][k]+f[k+1][j]+a[i][j],f[i][j]);
#include<cstdio>#include<iostream>using namespace std;int f[105][105],w[105],a[105][105];int main(){ int n; scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) cin>>w[i]; for(int i=1;i<=n;i++) {a[i][i]=w[i];f[i][i]=0;} for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=i+1;j<=n;j++) a[i][j]=a[i][j-1]+w[j]; for(int len=2;len<=n;len++) for(int i=1;i<=n;i++) { int j=i+len-1; if(j>n) continue; f[i][j]=0x7ffffff; for(int k=i;k<j;k++) { f[i][j]=min(f[i][k]+f[k+1][j]+a[i][j],f[i][j]); } } cout<<f[1][n]<<endl; return 0;}
能量项链
题目描述 Description
在Mars星球上,每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子,这些标记对应着某个正整数。并且,对于相邻的两颗珠子,前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样,通过吸盘(吸盘是Mars人吸收能量的一种器官)的作用,这两颗珠子才能聚合成一颗珠子,同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m,尾标记为r,后一颗能量珠的头标记为r,尾标记为n,则聚合后释放的能量为m*r*n(Mars单位),新产生的珠子的头标记为m,尾标记为n。
需要时,Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子,通过聚合得到能量,直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然,不同的聚合顺序得到的总能量是不同的,请你设计一个聚合顺序,使一串项链释放出的总能量最大。
例如:设N=4,4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2,3) (3,5) (5,10) (10,2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作,(j⊕k)表示第j,k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为:
(4⊕1)=10*2*3=60。
这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为
((4⊕1)⊕2)⊕3)=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。
输入描述 Input Description
第一行是一个正整数N(4≤N≤100),表示项链上珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的正整数,所有的数均不超过1000。第i个数为第i颗珠子的头标记(1≤i≤N),当i < N时,第i颗珠子的尾标记应该等于第i+1颗珠子的头标记。第N颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。
至于珠子的顺序,你可以这样确定:将项链放到桌面上,不要出现交叉,随意指定第一颗珠子,然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。
输出描述 Output Description
只有一行,是一个正整数E(E≤2.1*109),为一个最优聚合顺序所释放的总能量。
样例输入 Sample Input
4
2 3 5 10
样例输出 Sample Output
710
分析:
个人觉得就是石子合并的加强版,变成一个环了。用一个取模或者把数组加倍来解决。
然后定义f[i][j] 表示从 i 到 j 的最大能量
f[i][j]=max(f[i][r] , f[i][k-1]+f[k][j]+s[i]*s[k]*b[r]);
#include <cstdio>#include <iostream>using namespace std;int f[102][102],n;// 直接解决 环状 省得开两倍 int mod(int x){ return (x-1)%n+1;}int main(){ int s[102],r; int b[102];//存储 int Maxn=-1; //Readdata(); scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++){ scanf("%d",&s[i]); b[i-1]=s[i]; } //dp b[n]=s[1]; for(int j=2; j<=n; j++){ for(int i=1; i<=n; i++){ r=mod(i+j-1); for(int k=i+1;k<=j+i-1;k++){ f[i][r]=max(f[i][r],f[i][mod(k-1)]+f[mod(k)][r]+s[i]*s[mod(k)]*b[r]); }}} for(int i=1;i<=n;i++) { if(f[i][mod(i+n-1)]>Maxn)Maxn=f[i][mod(i+n-1)]; } printf("%d",Maxn); return 0;}
矩阵取数游戏
题目描述 Description
【问题描述】
帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏:对于一个给定的n*m 的矩阵,矩阵中的每个元素aij均
为非负整数。游戏规则如下:
1. 每次取数时须从每行各取走一个元素,共n个。m次后取完矩阵所有元素;
2. 每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾;
3. 每次取数都有一个得分值,为每行取数的得分之和,每行取数的得分= 被取走的元素值*2i,
其中i 表示第i 次取数(从1 开始编号);
4. 游戏结束总得分为m次取数得分之和。
帅帅想请你帮忙写一个程序,对于任意矩阵,可以求出取数后的最大得分。
输入描述 Input Description
第1行为两个用空格隔开的整数n和m。
第2~n+1 行为n*m矩阵,其中每行有m个用单个空格隔开的非负整数。
输出描述 Output Description
输出 仅包含1 行,为一个整数,即输入矩阵取数后的最大得分。
样例输入 Sample Input
2 3
1 2 3
3 4 2
样例输出 Sample Output
82
数据范围及提示 Data Size & Hint
样例解释
第 1 次:第1 行取行首元素,第2 行取行尾元素,本次得分为1*21+2*21=6
第2 次:两行均取行首元素,本次得分为2*22+3*22=20
第3 次:得分为3*23+4*23=56。总得分为6+20+56=82
【限制】
60%的数据满足:1<=n, m<=30, 答案不超过1016
100%的数据满足:1<=n, m<=80, 0<=aij<=1000
分析:
由于每一排之间是相对独立的,也即是找到每一排所能得到的最大值求和。
满足动态规划要求。
f[i,j]=max{f[i-1,j]+data[i-1]*2^k,f[i,j+1]+data[j+1]*2^k}
则每一行的最大得分为max(f[i][i-1])
#include <iostream>#include <cstdio>#include <cstdlib>#include <cstring>#include <string>#include <algorithm>using namespace std;const int MAXN = 1005;struct bign{ int len, s[MAXN]; bign () { memset(s, 0, sizeof(s)); len = 1; } bign (int num) { *this = num; } bign (const char *num) { *this = num; } bign operator = (const int num) { char s[MAXN]; sprintf(s, "%d", num); *this = s; return *this; } bign operator = (const char *num) { for(int i = 0; num[i] == '0'; num++) ; //去前导0 len = strlen(num); for(int i = 0; i < len; i++) s[i] = num[len-i-1] - '0'; return *this; } bign operator + (const bign &b) const { bign c; c.len = 0; for(int i = 0, g = 0; g || i < max(len, b.len); i++) { int x = g; if(i < len) x += s[i]; if(i < b.len) x += b.s[i]; c.s[c.len++] = x % 10; g = x / 10; } return c; } bign operator += (const bign &b) { *this = *this + b; return *this; } void clean() { while(len > 1 && !s[len-1]) len--; } bign operator * (const bign &b) //* { bign c; c.len = len + b.len; for(int i = 0; i < len; i++) { for(int j = 0; j < b.len; j++) { c.s[i+j] += s[i] * b.s[j]; } } for(int i = 0; i < c.len; i++) { c.s[i+1] += c.s[i]/10; c.s[i] %= 10; } c.clean(); return c; } bign operator *= (const bign &b) { *this = *this * b; return *this; } bool operator < (const bign &b) { if(len != b.len) return len < b.len; for(int i = len-1; i >= 0; i--) { if(s[i] != b.s[i]) return s[i] < b.s[i]; } return false; } bool operator > (const bign &b) { if(len != b.len) return len > b.len; for(int i = len-1; i >= 0; i--) { if(s[i] != b.s[i]) return s[i] > b.s[i]; } return false; } bool operator == (const bign &b) { return !(*this > b) && !(*this < b); } bool operator != (const bign &b) { return !(*this == b); } bool operator <= (const bign &b) { return *this < b || *this == b; } bool operator >= (const bign &b) { return *this > b || *this == b; } string str() const { string res = ""; for(int i = 0; i < len; i++) res = char(s[i]+'0') + res; return res; }};//输入输出 istream& operator >> (istream &in, bign &x){ string s; in >> s; x = s.c_str(); return in;}ostream& operator << (ostream &out, const bign &x){ out << x.str(); return out;}bign f[90][90],pow[90],ans;int main(){ Readdata(); int n,m,a[100]; scanf("%d%d",&n,&m); pow[0]=1; //get pow ; for(int i=1;i<=m;i++) pow[i]=pow[i-1]*2; //对每一排考虑 实际上 每一排跟下一排没得关系找到当前最大 for(int r=1;r<=n;r++) { for(int c=1;c<=m;c++) scanf("%d",&a[c]); for(int i=1;i<=m;i++) f[i][i]=pow[m]*a[i]; for(int i=m-1;i>=1;i--) for(int j=i+1;j<=m;j++) {if(f[i+1][j]+pow[m-j+i]*a[i] > f[i][j-1]+pow[m-j+i]*a[j]) f[i][j]=f[i+1][j]+pow[m-j+i]*a[i]; else f[i][j] = f[i][j-1]+pow[m-j+i]*a[j]; } ans=ans+f[1][m]; } cout<<ans; return 0;}
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