nefu495最长k可重区间集问题

最长k可重区间集问题

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description

    给定实直线L 上n 个开区间组成的集合I，和一个正整数k，试设计一个算法，从开区间集合I 中选取出开区间集合S属于I，使得在实直线L 的任何一点x，S 中包含点x 的开区间个数不超过k，且 达到最大。这样的集合S称为开区间集合I的最长k可重区间集。称为最长k可重区间集的长度。    对于给定的开区间集合I和正整数k，计算开区间集合I的最长k可重区间集的长度。

input

多组数据输入.每组输入第1 行有2 个正整数n和k，分别表示开区间的个数和开区间的可重迭数。接下来的n行，每行有2个整数，表示开区间的左右端点坐标。

output

每组输出最长k可重区间集的长度

sample_input

4 21 76 87 109 13

sample_output

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【问题分析】


最大权不相交路径问题，可以用最大费用最大流解决。


【建模方法】


方法1


按左端点排序所有区间，把每个区间拆分看做两个顶点<i.a><i.b>，建立附加源S汇T，以及附加顶点S'。


1、连接S到S'一条容量为K，费用为0的有向边。
2、从S'到每个<i.a>连接一条容量为1，费用为0的有向边。
3、从每个<i.b>到T连接一条容量为1，费用为0的有向边。
4、从每个顶点<i.a>到<i.b>连接一条容量为1，费用为区间长度的有向边。
5、对于每个区间i，与它右边的不相交的所有区间j各连一条容量为1，费用为0的有向边。


求最大费用最大流，最大费用流值就是最长k可重区间集的长度。


方法2


离散化所有区间的端点，把每个端点看做一个顶点，建立附加源S汇T。


1、从S到顶点1（最左边顶点）连接一条容量为K，费用为0的有向边。
2、从顶点2N（最右边顶点）到T连接一条容量为K，费用为0的有向边。
3、从顶点i到顶点i+1(i+1<=2N)，连接一条容量为无穷大，费用为0的有向边。
4、对于每个区间[a,b]，从a对应的顶点i到b对应的顶点j连接一条容量为1，费用为区间长度的有向边。


求最大费用最大流，最大费用流值就是最长k可重区间集的长度。


【建模分析】


这个问题可以看做是求K条权之和最大的不想交路径，每条路径为一些不相交的区间序列。由于是最大费用流，两条路径之间一定有一些区间相交，可以看做事相交部分重复了2次，而K条路经就是最多重复了K次。最简单的想法就是把区间排序后，不相交的区间之间连接一条边，由于每个区间只能用一次，所以要拆点，点内限制流量。如果我们改变一下思路，把端点作为网络中的顶点，区间恰恰是特定一些端点之间的边，这样建模的复杂度更小。方法1的边数是O(N^2)的，而方法2的边数是O(N)的，可以解决更大规模的问题。

#include<cstdio>#include<algorithm>using namespace std;const int mm=3333;const int mn=1111;const int oo=1000000000;int node,src,dest,edge;int reach[mm],flow[mm],cost[mm],next[mm];int head[mn],dis[mn],q[mn],p[mn],a[mn],x[mn],y[mn];bool vis[mn];inline void prepare(int _node,int _src,int _dest){    node=_node,src=_src,dest=_dest;    for(int i=0;i<node;++i)head[i]=-1;    edge=0;}inline void addedge(int u,int v,int f,int c){    reach[edge]=v,flow[edge]=f,cost[edge]=c,next[edge]=head[u],head[u]=edge++;    reach[edge]=u,flow[edge]=0,cost[edge]=-c,next[edge]=head[v],head[v]=edge++;}bool spfa(){    int i,u,v,l,r=0,tmp;    for(i=0;i<node;++i)dis[i]=oo;    dis[q[r++]=src]=0;    p[src]=p[dest]=-1;    for(l=0;l!=r;(++l==mn)?l=0:1)        for(i=head[u=q[l]],vis[u]=0;i>=0;i=next[i])            if(flow[i]&&dis[v=reach[i]]>(tmp=dis[u]+cost[i]))            {                dis[v]=tmp;                p[v]=i^1;                if(vis[v])continue;                vis[q[r++]=v]=1;                if(r==mn)r=0;            }    return p[dest]>=0;}int SpfaFlow(){    int i,ret=0,delta;    while(spfa())    {        for(i=p[dest],delta=oo;i>=0;i=p[reach[i]])            if(delta>flow[i^1])delta=flow[i^1];        for(i=p[dest];i>=0;i=p[reach[i]])            flow[i]+=delta,flow[i^1]-=delta;        ret-=delta*dis[dest];    }    return ret;}int find(int x,int m){    int l=0,r=m;    while(l<r)    {        m=(l+r)>>1;        if(a[m]==x)return m;        if(a[m]>x)r=m-1;        else l=m+1;    }    return l;}int main(){    int i,u,v,n,k,m;    while(scanf("%d%d",&n,&k)!=-1)    {        for(m=i=0;i<n;++i)scanf("%d%d",&x[i],&y[i]),a[m++]=x[i],a[m++]=y[i];        sort(a,a+m);        for(v=0,u=1;u<m;++u)            if(a[u]>a[v])a[++v]=a[u];        m=v+1;        prepare(m+2,0,m+1);        addedge(src,1,k,0);        addedge(m,dest,k,0);        for(u=1;u<m;++u)addedge(u,u+1,oo,0);        for(i=0;i<n;++i)            addedge(find(x[i],m-1)+1,find(y[i],m-1)+1,1,x[i]-y[i]);        printf("%d\n",SpfaFlow());    }    return 0;}