【算法设计】背包问题2

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之前整理了屈奶奶讲的背包问题，感谢cyh24童鞋留言，传我一份武林秘籍《背包问题九讲》，实践了一下文档里对空间复杂度的改进。

0-1背包问题

通过之前的分析，Fk(y) 表示只允许装前k 种物品,背包总重不超过y 时背包的最大价值。得到0-1背包的递推公式和边界条件：

对空间的优化主要在Fk(y)，原本我们用两个循环实现：

for(int k=1;k<=N;k++){for(int y=1;y<=B;y++){if(y-w[k-1]<0){F[k][y]=F[k-1][y];tagi[k][y]=tagi[k-1][y]; }else{//允许装入k件物品，价值的两种情况：//不装第k件物品或至少装1件第k件物品F[k][y]=F[k-1][y]>F[k][y-w[k-1]]+v[k-1] ? F[k-1][y]:(F[k][y-w[k-1]]+v[k-1]);tagi[k][y]=F[k-1][y]>F[k][y-w[k-1]]+v[k-1]?tagi[k-1][y]:k;}}}

实际并一定不需要F[N][B]的空间，如果内层循环以B...0递推，即下面的形式：

for(int k=1;k<=N;k++){for(int y=B;y>0;y--){F[y]=max{F[y],F[y-w[i]]+v[i]};}}

因为是以B...0倒序递推，则F[y]此时就是F[k-1][y]的值,而F[y-w]还未改变，仍为F[k-1][y-w]的值。因此可以用一维数组存储原来的优化函数信息。代码如下：

void ZeroOnePack(int F[],int tagi[],int v, int w,int k){for(int i=B;i>0;i--){if(i-w>=0&&F[i]<=(F[i-w]+v)){F[i]=F[i-w]+v;tagi[i]=k;}}}

完全背包问题

再看完全背包问题，即每个物品有无限件，不限每个物品装入的个数。得到递推关系和边界条件：

递归公式最主要的区别是Fk(y-wk)+vk，而非原来的Fk-1(y-wk)+vk，即物品可以在前k件中继续挑选。用一维数组时希望此时F[y]的数值即为F[k-1][y]的数值，而F[y-w]的数值为改变之后的F[k-1][y-w]的数值。因此我们可以用顺序0...B（而非逆序B...0）实现：

for(int k=1;k<=N;k++){for(int y=0;y>B;y++){F[y]=max{F[y],F[y-w[i]]+v[i]};}}

具体代码如下：

void CompletePack(int F[],int tagi[],int v, int w,int k){//F[i]=F[i]>(F[i-w]+v)?F[i]:(F[i-w]+v);//tagi=F[i]>(F[i-w]+v)?tagi:tagi+1;for(int i=1;i<=B;i++){if(i-w>=0&&F[i]<=(F[i-w]+v)){F[i]=F[i-w]+v;tagi[i]=k;}}}

测试用例

前面是0-1背包和完全背包的内层循环，还需要一个外层循环调用：

void Knapsack(int F[],int tagi[][B+1],int v[], int w[]){for(int i=0;i<B+1;i++){F[i]=tagi[0][i]=0;}for(int i=0;i<N+1;i++)tagi[i][0]=0;for(int i=0;i<N;i++){for(int j=0;j<B+1;j++)tagi[i+1][j]=tagi[i][j];//0-1背包ZeroOnePack(F,tagi[i+1],v[i],w[i],i+1);//完全背包//CompletePack(F,tagi[i+1],v[i],w[i],i+1);}}

还有之前文章的例子来测试，输出结果：

代码及文档下载：http://download.csdn.net/detail/xiaowei_cqu/4787977

参考资料：dd_engi等 《背包问题九讲》

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