动态规划解决跳台阶问题

动态规划解决跳台阶问题

分类： 算法/数据结构 C/C++2012-11-13 12:52 319人阅读 评论(0)收藏 举报

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1. 问题描述
2. 问题分析
3. 程序代码
4. 总结

问题描述

某互联网公司的一道面试题，题目是一个人上台阶，台阶有n级，他可以一次上1级，可以一次上2级，也可以一次上3级，问上这个n级的台阶一共有多少种上法。

问题分析

首先我们先归纳分析一下一些比较简单的情况：

如果台阶只有1级，那么他一次就可以上去，很显然，上法只有1种；

如果台阶有2级，那么他可以1-1，也可以直接上到2级，这时一共有2种上法；

如果台阶有3级，那么他可以1-1-1，可以1-2，可以2-1，也可以直接上到3，这样一共有4种上法；

如果台阶为4级，那么他可以1-1-1-1，可以1-1-2，可以1-2-1，可以2-1-1，可以1-3，可以3-1，也可以2-2，一共有7种上法；

..................

..................

..................

通过简单的分析，我们发现台阶数为4的时候，其上法等于1+2+4，也就是台阶数为1,2,3的上法的总和，依次类推。

一般情况下，我们把n级台阶的跳法写成n的函数f(n)。当n大于等于4时，f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)，即若要跳到n级台阶等于从n-1级台阶再跳1级，或从n-2级台阶再跳2级，或者从n-3级台阶再跳3级。

            /          1                    n=1

          /

        /              2                    n=2

f(n)=

        \              4                    n=3

          \

            \ f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)  n>=4

有了这个状态转移公式，并且满足动态规划的条件（最优子结构，无后效性等），就能用动态规划来求解。

程序代码

下面是部分程序代码：

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1. int i=0;  
2. int step[num];  
3.   
4. assert(num>0);  
5.   
6. step[0]=1;  
7. step[1]=2;  
8. step[2]=4;  
9.   
10. if(num<=3)  
11. {  
12.   
13.     printf("need %d steps\n",step[num-1]);  
14.     return 0;  
15. }  
16.   
17. for(i=3;i<num;i++)  
18. {  
19.     step[i]=step[i-1]+step[i-2]+step[i-3];  
20. }  
21. printf("need %d steps\n",step[num-1]);  
22. return 0;  

int i=0;int step[num];assert(num>0);step[0]=1;step[1]=2;step[2]=4;if(num<=3){printf("need %d steps\n",step[num-1]);return 0;}for(i=3;i<num;i++){step[i]=step[i-1]+step[i-2]+step[i-3];}printf("need %d steps\n",step[num-1]);return 0;

总结

该问题属于比较基础的动态规划问题，经过分析归纳后能得出状态转移方程，然后即可利用动态规划思想解决。