最小生成树：kruskal算法与prim算法

Kruskal算法

算法定义

　　克鲁斯卡尔算法

　　假设 WN=(V,{E}) 是一个含有 n 个顶点的连通网，则按照克鲁斯卡尔算法构造最小生成树的过程为：先构造一个只含 n 个顶点，而边集为空的子图，若将该子图中各个顶点看成是各棵树上的根结点，则它是一个含有 n 棵树的一个森林。之后，从网的边集 E 中选取一条权值最小的边，若该条边的两个顶点分属不同的树，则将其加入子图，也就是说，将这两个顶点分别所在的两棵树合成一棵树；反之，若该条边的两个顶点已落在同一棵树上，则不可取，而应该取下一条权值最小的边再试之。依次类推，直至森林中只有一棵树，也即子图中含有 n-1条边为止。

举例描述

　　克鲁斯卡尔算法(Kruskal's algorithm)是两个经典的最小生成树算法的较为简单理解的一个。这里面充分体现了贪心算法的精髓。大致的流程可以用一个图来表示。这里的图的选择借用了Wikipedia上的那个。非常清晰且直观。

　　首先第一步，我们有一张图，有若干点和边

　　如下图所示：

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　　第一步我们要做的事情就是将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择。

　　排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了

　　

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　　第二步，在剩下的边中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5

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　　依次类推我们找到了6,7,7。完成之后，图变成了这个样子。

　　

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　　下一步就是关键了。下面选择那条边呢？ BC或者EF吗？都不是，尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以我们不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。

　　最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。最后成功的图就是下图：

　　

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　　到这里所有的边点都已经连通了，一个最小生成树构建完成。

 

Prim算法：

思想：每次选择当前权值最小的邻边与之连接

以某一顶点开始采用Prim算法构造最小生成树，然后顺着该顶点找出下一个权值最小的与之相连的顶点