HDU 1024 Max Sum Plus Plus DP中的经典

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1024

 

Max Sum Plus Plus

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 11256    Accepted Submission(s): 3701

Problem Description

Now I think you have got an AC in Ignatius.L's "Max Sum" problem. To be a brave ACMer, we always challenge ourselves to more difficult problems. Now you are faced with a more difficult problem.

Given a consecutive number sequence S₁, S₂, S₃, S₄ ... S_x, ... S_n (1 ≤ x ≤ n ≤ 1,000,000, -32768 ≤ S_x ≤ 32767). We define a function sum(i, j) = S_i + ... + S_j (1 ≤ i ≤ j ≤ n).

Now given an integer m (m > 0), your task is to find m pairs of i and j which make sum(i₁, j₁) + sum(i₂, j₂) + sum(i₃, j₃) + ... + sum(i_m, j_m) maximal (i_x ≤ i_y ≤ j_x or i_x ≤ j_y ≤ j_x is not allowed).

But I`m lazy, I don't want to write a special-judge module, so you don't have to output m pairs of i and j, just output the maximal summation of sum(i_x, j_x)(1 ≤ x ≤ m) instead. ^_^

 

 

Input

Each test case will begin with two integers m and n, followed by n integers S₁, S₂, S₃ ... S_n.
Process to the end of file.

 

 

Output

Output the maximal summation described above in one line.

 

 

Sample Input

1 3 1 2 32 6 -1 4 -2 3 -2 3

 

 

Sample Output

68
Hint
Huge input, scanf and dynamic programming is recommended.

 

 

题意：在一个序列中找出最大M段和，子段的长度是任意的（不能为0）；

        

 

这题由于数据量有点大，要用二维滚动数组来做；

• 但主要还是考DP；

这题是1003最大字段和的升级版。

DP的根本是把一个大问题分解成小问题逐个求解，从中减少重复的计算。

 

 这题要在长度为N的序列中找出M个不重叠的字段，递推过程：

        序列：a1,a2,a3......an；已经找出最大M段和max1了，但我现在要在

a1,a2,a3,......,an,a(n+1)中找出最大M段和max2，max1与max2有什么关系么？

 

      这里要分两种情况讨论了，max2中是否包含an+1；

 

      情况1：max2中不包括a(n+1)，也就是max2 = max1啦；

       情况2：max2中包括a(n+1)，这里又要再分两种情况，max1中是否包括an（因为字段是要连续的）

               2.1：max1中包含an，所以max2 = max1 + a(n+1);（直接加长包含an的字段）

               2.2：max1中不包含an，所以a(n + 1)只能独立成一段，所以就要找出序列

中最大M-1段和max3；max2 = max3 + a(n + 1);

    从上面的推导可以看出来，长度为N+1的序列最大M段和（max2）就与长度为N的序

列最大M段和（max1）和长度为N的序列最大M-1段和（max3）有关的；

 

 

      我们用二维数组来表示这样关系dp[ i ][ j ]表示前 j 个元素中最大 i段和(其中一定

包含aj---最后一个元素);

      因为一定包含aj,所以上面情况可以表示为:dp[ i ][ j ] = max (max ( dp[ i - 1 ]

[ k ] ) + a(j) ，dp[ i ][ j - 1 ]+ a(j) );

 

    ps：dp[ i ][ j ]对应递推过程的max2；

           max ( dp[ i - 1 ][ k ] ) 对应max3；

           dp[ i ][ j - 1 ]对应max1；

 

在最后完成整个表之后，最大M段和就是max（dp[M][k]）；

 

 

代码实现：

 

#include <stdio.h>__int64 num[1000050];__int64 dp[2][1000050];int main (){int i,j,k;int n,m;while (scanf ("%d%d",&m,&n)!=EOF){__int64 max = -99999;int sum = 0;for (i = 1 ; i <= n ; i ++){scanf ("%I64d",&num[i]);dp[0][i] = 0;dp[1][i] = 0;}max = -99999;k = 1;//用作滚动数组的滚动for (i = 1 ; i <= m ; i ++){max = dp[1 - k][i - 1];//这是记录dp[i - 1][j - 1]的最大值dp[k][i] = dp[1 - k][i - 1] + num[i];//此时是相当于dp[i][i]；就是全部元素的和；for ( j = i + 1 ; j <= n  ; j ++){if (dp[1 - k][j - 1] > max)//这是记录dp[i - 1][j - 1]的最大值max = dp[1 - k][j - 1];dp[k][j] = dp[k][j - 1] +num[j] > max + num[j] ? dp[k][j - 1] + num[j] : max + num[j];}k = 1 - k;}max = -99999999;k = 1 - k;for (i = m ; i <= n ; i ++ )if (dp[k][i] > max)max = dp[k][i];printf ("%I64d\n",max);}}/*1 3 1 2 32 6 -1 4 -2 3 -2 32 5 4 -1 -2 4 12 6 4 -1 -2 4 -1 1*/