hdu 1024 Max Sum Plus Plus(dp)

思路：

最开始是真的没什么思路，看别人的摸懂的。

dp[i][j] 表示前j个数分成i段所能得到的最大值，并且第i段包括了第j个那个元素即a[j]，a数组表示原存放数的数组

dp[i][j] 有两种情况可以得到它，

第一：和第j个元素一起放在第i段的末尾，即dp[i][j-1] + a[j]，这样可以得到一个dp[i][j]

第二：第j个元素单独成为一段，那么就要和前面前j-1个元素分成i-1段所能得到的最大值相加，然后组成一个dp[i][j],即max(dp[i-1[k]+a[j]) (0<k<j)

以上为这个dp思路的精华所在，最后一个元素独成一段是最重要的一点，因为每一个不独成一段的元素都被第一点包含进去了，即第一点是由独成一段开始然后才会有很长的一段的，所以此dp思路成立。

状态转移方程为：

dp[i][j] = max(dp[i][j-1] + a[j], max(dp[i-1][k] + a[j]))  (0<k<j)

for( i = 1; i <= m; ++i){     for(  j = i; j <= n; ++j){           dp[j] = dp[j-1] + a[j];           for(int r = 1; r < j; ++r){               dp[j] = max(dp[j],dp[r] + a[j]);           }     }}

这样看上去差不多问题得到解决了，思路正确，代码应该是没问题的。

可是题目的j会达到很大，一百万级别，那么只要i稍微大点，就会MLE，而且也会TLE，因此有必要解决时空的问题。

我们继续来看，

我们每一次循环dp的时候，它的前后关联的元素是哪些，这是简化dp的空间的基本点。

可以发现，只和前面分成i-1段的结果有关，因此我们就有两种方法来简化，

第一种是：保存前后两个状态，这样空间第一维就固定为2了，吃的起，可以

第二种：就是滚动数组了，滚动数组是dp的一个经典缩空间的方法，因为我们每一次都覆盖掉刚用过的数据，那么我们就只要用一维就可以实现了。

到了这里我们解决了空间的问题，可是时间的问题依旧没有得到解决，

我们在max(dp[i-1][k] + a[j])  (0<k<j) 这里还是会花费一个O(n)的时间复杂度去查找，这导致了我们的时间复杂度达到了O(M*N^2)，这是不可忍受的，不能接受的

那么要如何解决这个问题呢，我们从滚动数组的更新上可以发现，我们可以用滚动数组的类似原理，我们开个数组专门存放前k个元素组成i段的元素的最大值

即 mx[i][j] 表示前1-j个元素的组成i段的最大值，即max(dp[i-1][k] + a[j])  (0<k<j) 这个用一个二维数组表示了，

此时我们在对其使用滚动数组，使得其变成一维mx[j]，这样我们就可以同滚动数组的更新一起更新mx的值了。

即用一个mmax保存前 mx[i][j] ，然后用其值更新下一个mx[j]的值，这样就可以缩掉一维。

for( i = 1; i <= m; ++i){    mmax = -INF;    for(  j = i; j <= n; ++j){         dp[j] = max(dp[j-1] + a[j], mx[j-1] + a[j]);         mx[j-1] = mmax;         mmax = max(mmax,dp[j]);   }}

每次更新都更新mx的值。

到此时空都得到了一定的解决了，提交859ms。。。

#include <iostream>#include <stdio.h>#include <string.h>#include <math.h>#include <stdlib.h>#include <map>#include <set>#include <vector>#include <stack>#include <algorithm>using namespace std;#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))#define eps 10e-8const int MAX_ = 1000010;const int N = 100010;const int INF = 0x7fffffff;int a[MAX_], mx[MAX_] ,dp[MAX_];int main(){int n, m, mmax, i, j;while(~scanf("%d%d",&m,&n)){        for( i = 1; i <= n; ++i){            scanf("%d",&a[i]);            dp[i] = mx[i] = 0;        }        dp[0] = mx[0] = 0;        for( i = 1; i <= m; ++i){            mmax = -INF;            for(  j = i; j <= n; ++j){                /*dp[j] = dp[j-1] + a[j];                for(int r = 1; r < j; ++r){                    dp[j] = max(dp[j],dp[r] + a[j]);                }*/                dp[j] = max(dp[j-1] + a[j], mx[j-1] + a[j]);                mx[j-1] = mmax;                mmax = max(mmax,dp[j]);            }            //mx[n] = mmax;        }        printf("%d\n",mmax);}return 0;}