nyoj 36 最长公共子序列

动态规划很神奇，在网上看到一位大牛对该类问题的分析，很透彻，转过来吧：

最长公共子序列是一个十分实用的问题，它可以描述两段文字之间的“相似度”，即它们的雷同程度，从而能够用来辨别抄袭。对一段文字进行修改之后，计算改动前后文字的最长公共子序列，将除此子序列外的部分提取出来，这种方法判断修改的部分，往往十分准确。简而言之，百度知道、百度百科都用得上。

算法

　　动态规划的一个计算两个序列的最长公共子序列的方法如下：
　　以两个序列 X、Y 为例子：
　　设有二维数组 f[i,j] 表示 X 的 i 位和 Y 的 j 位之前的最长公共子序列的长度，则有：
　　f[1][1] = same(1,1);
　　f[i,j] = max{f[i-1][j -1] + same(i,j),f[i-1,j],f[i,j-1]}
　　其中，same(a,b)当 X 的第 a 位与 Y 的第 b 位完全相同时为“1”，否则为“0”。
　　此时，f[j]中最大的数便是 X 和 Y 的最长公共子序列的长度，依据该数组回溯，便可找出最长公共子序列。
　　该算法的空间、时间复杂度均为O(n^2)，经过优化后，空间复杂度可为O(n)。


动态规划法

经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。

为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。

考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bn-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：

（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；(肯定是，因为最后一个若相等，则该字符必在LCS中)

（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；

（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。

这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

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AC代码：

#include<iostream>#include<string>#include<cstring>const int INF=1005;using namespace std;int _dp[INF][INF];string s1,s2;void dp(){    memset(_dp,0,sizeof(_dp));    for(int i=0;i<s1.length();i++)        for(int j=0;j<s2.length();j++)        {            if(s1[i]==s2[j]) _dp[i+1][j+1]=_dp[i][j]+1;            else _dp[i+1][j+1]=_dp[i+1][j]>_dp[i][j+1]?_dp[i+1][j]:_dp[i][j+1];        }}int main(){    int t;    cin>>t;    while(t--)    {        cin>>s1>>s2;        dp();        cout<<_dp[s1.length()][s2.length()]<<endl;    }    return 0;}