图基本概念

1 图的基本概念

　　图 (G)是一种比线性表和树结构更复杂的数据结构，是非线性的数据结构，应用非常广泛。

　　图：图G由两个集合V(G)和E(G)组成，记为：G=(V，E)。其中，V(G)是顶点的非空有限集合，E(G)是边的有限集合，边是顶点的无序对或有序对。

　　有向图：若E(G)是有向边(也称为弧)的有限集合时，则为有向图。弧是顶点的有序对，记为，其中V、W是顶点，V称为弧尾，W称为弧头。我们说是从顶点V到顶点W的弧，也可说顶点W和顶点V相邻，或V邻接W。

　　

 

　　无向图：若E(G)是无向边(简称边)的有限集合时，则为无向图。边是顶点的无序对，记为(V，W)或(W，V)，因为(V，W)=(W，V)，其中V、W是顶点。我们说(V，W)是V邻接W，或W邻接V。

　　例：有向图G 1 和无向图G 2

　　

 

　　图G 1 有

　　V(G 1 )={1，2，3，4，5，6}

　　E(G 1)={<1，2>，<2，1>，<2，3>，<2，4>，<3，5>，<5，6>，<6，3>}

　　图G 2 有

　　V(G 2 )={1，2，3，4，5，6，7}

　　E(G 2 )={(1，2)，(2，3)，(3，1)，(2，4)，(2，5)，(5，6)，(5，7)}

　　完备图无向图：对一个有n个顶点的无向图，若每个顶点到其它(n-1)个顶点都连有一条边，则图中共有n(n-1)/2条边。

　　完备图有向图 ：对一个有n个顶点的有向图，若任何两顶点都有方向相反的两条弧连接，则图中共有n(n-1)条弧。

　　权 ：若图上的每条边有一相应的数值，这个数值就叫该边的权。这种图一般叫做网络。

　　路径 ：在一个图中，若从顶点V 1 出发，沿一些边经过顶点V 2 ，V 3 ，...，V n-1 到达顶点V n，则成顶点序列(V 1 ，V 2 ，...，V n-1 ，V n )为从V 1 到V n的路径。对于有向图，路径也是有向的，路径的方向是由起点到终点且需与它经过的每条边的方向一致。

　　路径长度 ：沿此路径上边的数目为路径长度;对有权的图，一般取沿路径各边的权之和作为此路径的长度。

　　简单路径 ：如果一条路径上的所有顶点，出起始顶点和终止顶点外，都是彼此不同的，则可说该路径是一条简单路径。

　　简单回路 ：如果一条简单路径，其长度 3 2，且路径起始和结束在同一顶点上，则说该路径是一个简单路径。

　　单向连通 ：若从顶点V到顶点W有一条路径，则说V到W是单向连通，或称连通的。

　　连通图 ：如果图G中任意两个顶点都是连通的，则说G是一个连通图。非连通图的每一个连通部分叫连通分量。

　　强连通图 ：对于有向图，若从顶点V i 到顶点V j 和从顶点V j 到顶点V i之间都有路径，则称这两个顶点是强连通的。若图中任何一对顶点都是强连通的，则称此图为强连通图。非强连通图的每一个强连通部分叫强连通分量。

　　

 

　　度：与每个顶点相连的边数，称为该顶点的度。对于有向图，顶点的度有入度和出度之区别，以顶点V为头的弧的数目称为V的入度，以顶点V为尾的弧的数目称为V的出度。

　　子图 ：设G=(V，E)和G'=(V'，E')是两个有向图，如果有V' ì V，E' ì E，则说G'是G的子图。

　　

 

　　图的基本运算 ：

　　LOCVERTEX(G，V)：确定顶点V在图G中的位置;

　　GETVERTEX(G，i)：求图G中第i个顶点;

　　FIRSTADJ(G，V)：求图G中顶点V的第一个邻接点。若V在G中无邻接点，则运算结果为“零”或“NIL”;

　　NEXTADJ(G，V，W)：其中W为图G中顶点V的邻接点，求顶点V的下一个邻接点;

　　ADDVERTEX(G，U)：在G中增加一个顶点U，则U是图G的第n+1个顶点，其中n为图中原有顶点的个数;

　　ADDARC(G，V，W)或ADDEDGE(G，V，W)：在图中增加一条从顶点V到顶点W的弧或顶点V和顶点W之间的一条边;

　　DELVERTEX(G，V)：在图G中删去顶点V以及所有与V相关联的边或弧;

　　DELARC(G，V，W)或DELEDGE(G，V，W)：从图G中删去一条从顶点V到顶点W的弧或顶点V和顶点W之间的一条边。

　　2 图的存储方法

　　2.1 关联矩阵

　　关联矩阵的每行对应图的一个顶点，每列对应图的一条边，(n*e)阶矩阵。缺点是浪费内存。

　　

 

　　2.2 邻接矩阵

　　邻接矩阵表示各顶点间的邻接关系，每行对应图的一个顶点，每列也对应图的一个顶点，是一个(n*n)阶矩阵。两顶点有边相连就说是两点相邻接。邻接矩阵的元素规定如下：

　　

 

　　例，对图

　　

 

　　G1、G2图的邻接矩阵分别为：

　　

 

　　2.3 邻接表

　　邻接表是图的一种链式存储结构，它是由邻接矩阵改进而来的，其特点是只考虑非零元素，因而节省了存储空间。

　　

 

　　为方便计算入度，构造逆邻接表

　　

 

　　2.4 十字链表

　　十字链表是有向图的一种链式存储结构，可以看成是将有向图的邻接表和逆邻接表结合起来得到的一种链表。

　　

 

　　3 图的遍历

　　和树的遍历类似，图的遍历是从图中某一顶点出发，访问图中其余顶点，且使每一顶点仅被访问一次。常用图的遍历方法：深度优先搜索遍历 和 广度优先搜索遍历 。辅助数组，

　　

 

　　3.1 深度优先搜索遍历

　　深度优先搜索遍历类似于树的先序遍历，是树的先序遍历的推广。

　　

 

　　一种遍历过程：

　　

 

　　

 

　　

 

　　

 

　　DFS遍历结果：1，2，4，8，5，6，3，7

　　如果访问顶点V1后，接着访问顶点V3，...可以得到另一遍历结果：1，3，7，8，6，5，2，4

　　

 

　　3.2 广度优先搜索遍历

　　广度优先搜索遍历类似于树的按层次遍历。

　　对上图，按广度优先的一种遍历过程：

　　

 

　　

 

　　

 

　　

 

　　BFS遍历结果：1，2，3，4，5，6，7，8

　　也可以得到其它遍历结果，如：1，3，2，7，6，5，4，8

　　广度优先搜索方法不是递归过程，运算时需借助一个队列，同时也使用一个辅助数组visited[n]来标记顶点的访问情况。