原码 反码 补码 移码

本文将介绍计算机中的四种编码：原码、反码、补码和移码

   计算机需要处理的信息包括数值信息以及各种符号，文字，图像语言等信息。但计算机内部的硬件只能表示两个状态0和1，计算机只能对二进制的数字信息进行传送、处理。加工和存储，因此，在计算机的内部，各种信息都必须经过数字化编码后才能被传送加工和处理，必须对这些信息进行编码。
   各种数值数据在计算机中的表示的形式成为机器数，其特点是采用二进制计数制，数的符号用0、1表示，小数点则隐含表示而不占位置。机器数对应的实际数值称为数的真值。小数点位置固定的数称为定点数，有无符号数和带符号数之分。计算机中的定点数只采用纯整数或者纯小数形式。
   无符号数表示正数，在机器数中没有符号位。对于无符号数，若约定小数点的位置在机器数的最低位后，则是纯整数；若约定小数点的位置在机器数的最高位之前，则是纯小数。
   对于带符号数，n位机器数的最高位X_s是表示正负的符号位，其余n-1位则表示数值。若约定小数点的位置在机器数的最低数值位之后，则是纯整数，若约定小数点的位置在机器数的最高位之前（符号位之后），则是纯小数。

   带符号定点整数格式：  X_s  X_{n-2 - - -} X₁ X_0.

       带符号定点小数格式： X_s. X_{n-2 - - -} X₁ X₀ 

   ("."为小数点位置)

1.原码表示

   原码(true form)是最容易理解的一种数据编码表示，也称“符号-数值”表示法。   
   数值X的原码记为[X]_原，如果机器字长为n(即采用n个二进制位表示数据)，则最高位是符号位，0表示正号，1表示负号，其余n-1位表示数值的绝对值。

   由于小数点约定的位置不同，计算机中的数据分为定点小数和定点整数，相应由两种形式的原码定义。

   式中X表示真值，[X]_原表示真值X的原码。若X为正，则[X]_原与X相同；因为X为纯小数，且0<=X<1,所以最高位（符号位）为0，若X为负，则[X]_原为1+|X|,即最高位（符号位）为1，数值位为X的绝对值。课间原码体现了数据的绝对值，因此在乘除运算中常采用原码。

   例：若机器字长n=8
   [+35]_原=(00100011)₂
   [-35]_原=2⁷-(-35)=(10000000)₂+(00100011)₂=(10100011)₂

    [+0.8125]_原=(0.1101000)₂

   [-0.8125]_原=1-(-0.8125)=(1.0000000)₂+(0.1101000)₂=(1.1101000)₂

   由定义可以得出原码的如下性质：
   1.原码表示法用最高位表示符号位，符号位为0表示正，1表示负。数值部分就是原来的数值，即绝对值的真值。
   2.真值0在原码表示中不唯一。由定义，[+0]_原=0 0000000，[-0]_原=1 0000000
   3.假设机器字长为n，则
    ·原码表示的定点小数，其表示范围为： -(1-2^-(n-1))~+(1-2^-(n-1))
    ·原码表示的定点小数，其表示范围为：-(2^n-1-1)~+(2^n-1-1)
   4.对于定点小数，当X>0时，0<[X]_原<1,当X<0时，1<[X]_原<2
     对于n位定点整数，当X>0时，0<[X]_原<2^n-1,当X<0时，2^n-1<[X]_原<2ⁿ.
     因此，负数的原码大于正数的原码。
   5.由真值转换为原码，可将正数的符号位写0，负数符号位写1，数值位照写即可；由原码转换为真值，则将符号位0写成"+"，1写成"-"，数值位不变即可。
                     + <--->0 ,- <---->1
           真值X <----------------------------->[X]_原
                           数值位不变
   原码的优点：表示简单直观，机器数和真值间的相互转换很容易。用原码实现乘，除运算的规则很简单，可取其绝对值（原码的数值部分）直接运算，并遵循同号相乘除结果符号为正，异号为负的原则，单独处理符号位。
   缺点：实现加减运算较为复杂。

2.反码表示

   反码又称1的补码，下面分别给出定点小数和定点整数的反码定义。

   例：设机器字长n=8

   [+35]_反=(00100011)₂

   [-35]_反=(2⁸-1)+(-35)=(11111111)₂-(00100011)₂=(11011100)₂

   [+0.8125]_反=(0.1101000)₂

   [-0.8125]_反=(2-2^-7)+(-0.8125)=(1.1111111)₂-(0.1101000)₂=(1.0010111)₂

       
   由定义可得出反码有如下性质：

   1.正数的反码与原码相同，负数的反码为该负数对应的原码符号位不变，数值位按位取反。因此，在反码表示中，最高位为符号位，0表示正，1表示负，这一点与原码相同。
   2.反码中也有两种0的表示，由定义[+0]_反=00...0 ,[-0]_反=11...1,这使得反码与真值不能一一对应。
   3.假设机器字长为n，则
    ·反码表示的定点小数，范围为 -(1-2^-(n-1))~+(1-2^-(n-1))
    ·反码表示的定点整数，范围为 -(2^n-1-1)~+(2^n-1-1)
   4.负数的反码大于正数的反码，这一点与原码类似。
   5.反码与原码的转换。
     当X>=0时，由定义，真值X=原码=反码
                                符号位不变
     当X<0时   [X]_原  <---------------------------->[X]_反
                              数值位按位取反
     证明：只证X<0部分

         [X]_原 = 2^n-1-X

         [X]_反=2ⁿ -1 + X =  2^n-1     + 2^n-1 -1 -(-X)
         ^{和X的原码比较：        符号位不变     按  位  取  反}

3.补码表示

   补码概念的引入：

      -3 = +9 ( MOD 12 )
      一个负数可以表示成一个正数对于一个数M的补数。

   补码的定义：

      设模为M，一个n为二进制数X的补码的一般定义为：[n为机器字长]

                 [X]_补= M + X  (M为2ⁿ)

   上式是一个包含正负数在内的统一定义式。
      ·若X>0，则模作为超出的部分将被舍去，[X]_补=X,因而正数的补码就是其本身。
      ·若X<0，则[X]_补=M-|X|，[X]_补就是|X|以M为模的补数。

   例： 设机器字长为8位

   [-35]补=28+(-35)=(1 0000 0000)2-(0010 0011)2=(1101 1101)2

    

   [-0.8125]_补=2+(-0.8125)=(10.0000000)₂-(0.1101000)₂=(1.0011000)₂

   <sub>由定义可得出补码有如下性质：

   1.补码的符号位。
     当0<=X<1时，[X]补=X,因此有0<=[X]补<1,可见[X]补的形式必然为0.xxxx...x,所以符号位S=0。
     当-1<=X<0时，[X]补=2+X,因此有1<=[X]补<2,可见[X]补的形式必然为1.xxxx...x，所以符号位为S=1。
   2.补码中0的表示
     [0]补=0，0的补码是唯一的，因此X与[X]补一一对应。
   3.补码的表示范围
     假设字长为n，则：</sub>

        _{用补码表示定点小数，其范围为：-1<=X<=+(1-2^-(n-1))；}

        <sub>用补码表示定点整数，其范围为：-2^-(n-1)<=X<=+(2^n-1-1).
   4.负数的补码值大于整数的补码值。
   5.补码与真值、原码之间的相互转换。
   当真值X>=0时，
                        + <-------> 0
           真值X  <----------------------------------> [X]补=[X]原
                         数值位不变

   当真值X<0时，假设机器字长为n，由定义得：

   [X]补=2+X=1.111111..1 + X + 0.000000..1=1.111111..1-|X| +0.00000...1
              ^{n个1                    n-1个0          |X|按位取反          末位+1}  
    由此可以得到负数X转换为补码的规则如下：将|X|的真值按位取反，末位+1。

   反过来，由定义[X]补=2+X,得 -X=2-[X]补,又因为 -X=|X|,因此有

   |X|= -X=2-[X]补=1.1111..1-[X]补+0.00000..1
                          ^{[X]补按位取反       末位+1}
   而真值 X=-|X|,由此得出将负数X的补码[X]补转换为真值X的规则如下：将负数的补码转换为真值时，只需将符号位写为负号"-"，补码的各位按位取反，末位+1即可。

   当真值X<0时，
                         "-"  <------->1
              真值X  <----------------------------------->[X]补
                          数值按位取反，末位加1


   当真值X<0时，
                            符号位1不变
              [X]原<------------------------------------>[X]补
                         数值按位取反，末位加一
 
   另一种原码转换为补码的简便方法：数值部分自低位向高位搜索，第一个1以及其右的各位0保持不变，第一个1左边的各位按位取反。

   证明:设数值部分为 X X X... X 1 0..00
                  _ _ _   _
    按位取反后为：   X X X...X 0 1..11
                  _ _ _   _
    末位+1：       X X X...X 1 0..00


  ·补码的符号位扩展：

   在实际应用的过程中，有时需要扩充补码的位数。

   1.要将n位纯小数补码变成2n位，只需在末尾添加n个0即可。

     这个很好理解，例如[X]补=0.0000001---->0.000000100000000

   2.要将整数补码的模扩大 2ⁿ 倍，只需将[X]补的符号位向左复制n位即可。

 证明： [X1]补=2ⁿ+X ---> X=[X1]补-2ⁿ;

       [X2]补=2²ⁿ+  X   --->[X2]补= 2²ⁿ+  [X1]补-2^{n
                  将X代入}

=2ⁿ·2ⁿ+ [X1]补-2ⁿ =(2ⁿ-1)·2ⁿ    +     [X1]补
   ^{合   并            n-1个1左移n位        加上[x1]补}

·补码的算术右移（除2运算）

    算术右移就是除2运算，即已知[X]补，求[X/2]补。

                          符号位不变
    结论：  [X]补 ---------------------------------->[X/2]补
                         按位右移一位

    证明：   若X>=0

           [X]补 = X ----> X/2= [X]补/2,
           
           [X/2]补 =[X]补/2;       即X>=0时补码右移1位
      
           若X<0  
 
           [X]补=2ⁿ+X --->X=[X]补-2ⁿ,--->X/2=[X]补/2-2^n-1

           [X/2]补= 2ⁿ  +  X/2 = 2ⁿ + [X]补/2 - 2^n-1  = 2^n-1   +   [X]补/2.
                                                     ^{1左移n-1位     [X]补右移一位}
              即X<0时[X/2]补为补码右移1位+1<<(n-1)。

           得证。

   例： [X1]补=0.1101010  则[X1/2]补=0.0110101

       [X2]补=1.0100110 则[X2/2]补=1.1010011

                                              
 ·补码的算术左移

  算术左移就是乘2运算，与算术右移损失精度不同算术左移可能产生溢出。

                            末位补0
    结论：  [X]补 <---------------------------------->[2X]补
                           各位左移1位
    
    证明：  [X]补= 2+X, X=[X]补-2.

          2X=2[X]补-4  ,[2X]补=4 + 2X= 4 + 2[X]补-4 =2[X]补 
 
            得证。

   例： [X1]补=0.0110100 则[2X1]补=0|0.1101000=0.1101000，未溢出。

       [X2]补=1.0010110 则[2X2]补=1|0.0101100=0.0101100，溢出，因为乘2后符号变反。</sub>

_{4.移码表示}

   _{计算机中常用移码来表示浮点数的阶码，阶码为整数，因此我们只介绍定点整数的移码表示。若机器字长为n位，则移码的定义如下：}

           [X]_移=2^n-1 + X  ,    -2^n-1<=X<2^n-1

   上式中X为真值，[X]_移表示真值X的移码，2^n-1是一个固定的偏移值。
   
   移码的性质：

   1.移码的符号位。
     当-2^n-1<=X<0时，0<=[X]_移<2^n-1,即符号位为0.
     当0<=X<2^n-1时，2^n-1<=[X]_移<2ⁿ,即符号位为1.
     因此，移码中用0表示负，用1表示正，这点与原码，补码，反码都不同。
   2.移码中0的表示是唯一的。[0]_移=100...0
   3.移码的表示范围为 -2^n-1<=X<2^n-1
   4.[X]_移与X呈线性正比关系。
   5.移码与补码的关系：

     _{不管正负数，只要将其补码的符号位取反即可。}

     _{例如：X=-101011 , [X]原= 10101011 ，[X]反=11010100，[X]补=11010101，[X]移=01010101
    假设机器字长为n位，由定点整数移码与补码的定义：
    [X]移=  2^n-1+X       , -2^n-1<=X<2^n-1
    [X]补=  X        ,  0<=X<2^n-1
           2ⁿ+X     , -2^n-1<=X<0
    ·当X<0时，[X]补⁼2^n-1 + 2^n-1+X =[X]移+2^n-1,即X<0时，将[X]移的符号改为1即为[X]补，将[X]补的符号改为0即为[X]移。
    ·当X>=0时，[X]移= 2^n-1 + X=2^n-1+[X]补,即X<0时，将[X]移的符号改为0即为[X]补，将[X]补的符号改为1即为[X]移。
综合两方面，可得出结论，将即X<0时，将[X]移的符号位取反即得[X]补，反之亦然。
                             
                                  符号位取反
                      [X]移  <-------------------->[X]补}