线性代数学习笔记一：行列式

参考：《线性代数》同济大学第四版

n阶行列式的定义、性质及其计算方法。n阶行列式求解n元线性方程组的克拉默法则

1. 二阶与三阶行列式

    1）二元线性方程组与二阶行列式

        a）二阶行列式：定义；元素（元）；行标；列标；

        b）对角线法则（实线上正号，虚线上负号）

        c）系数行列式

        d）求解二元线性方程组

    2）三阶行列式

        a）定义

    3）对角线法则只适用于二阶与三阶行列式，更高阶需用全排列的知识，引出n阶行列式的定义

2. 全排列及其逆序数

    1）全排列：

            a）定义；种数

    2）排列的逆序数：

        a）逆序数的定义；

        b）排列的逆序数定义；

        c）奇排列；偶排列

    3）计算排列的逆序数的方法

3. n阶行列式的定义

    1）n阶行列式的定义

    2）对角行列式

    3）上（下）三角形行列式

4. 对换

    1）为研究n阶行列式的性质，先来讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系

    2）对换：

        a）对换定义

        b）相邻对换

    3）定理1：

        a）内容：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性

        b）推论：奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数

    4）定理2：

        a）n阶行列式的另一种定义（列标为自然排列，行标变）

        b）由定理1及其推论得来

5. 行列式的性质

    1）性质1：行列式与它的转置行列式相等

        a）内容

        b）证明（定理2）

        c）行列式的行列具有同等地位

    2）性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号

        a）内容

        b）证明（定理1）

        c）推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零

    3）性质3：行列式的某一行（列）中所有元素都同乘以一个数，等于用该数乘以此行列式

        a）推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面

    4）性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比列，则此行列式等于零

    5）性质5：若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则D等于下列两个行列式之和...

    6）性质6：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个数，然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变

    5）利用行列式的性质计算行列式

6. 行列式按行（列）展开

    1）代数余子式

        a）余子式

        b）代数余子式

    2）引理：

    3）定理3（行列式按行（列）展开法则）：

        a）内容：行列式等于它的任一行（列）各元素与其对应的代数余子式乘积之和；

        b）证明（引理）

        c）范德蒙德行列式

        d）推论

    4）代数余子式的重要性质（综合定理3及其推论）

7. 克拉默法则

    1）克拉默法则：如果线性方程组的系数行列式不等于零，则方程组有唯一解

    2）定理4及其逆否定理

    3）定理5：如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则其没有非零解；逆否定理