线性代数系列一:行列式的概念和性质
来源:互联网 发布:西安搜索引擎优化排名 编辑:程序博客网 时间:2024/05/21 07:58
行列式:
一、行列式的概念
1 有行有列,再加两根竖线,这种形式谓之行列式。
第一行第一列的元素为3,记作a11=3,依次类推。
2 余子式,去掉一个元素所在的行和列,剩余的部分就叫做这个元素的余子式。
第一行第一列的余子式为
用M11表示第一行第一列的元素的余子式,依次类推。
3 代数余子式:给余子式加上适当的正负号,适当的规则为-1的n次方,n等于该元素所在的行和列数值之和。
第一行第一列的代数余子式为:
记作A11
4 行列式的计算:按照任何一行或者任何一列展开,所谓的展开就是一个元素和它的代数余子式的乘积。注意,是任何一行或者一列。
说到这里,应该明白行列式代表的是一个数。
这里有两个小技巧,第一行列式展开时,每行每列展开的效果都是一样的,所以展开时尽量选择零最多的行(列),可以大大减少工作量,因为0乘一个数为0。第二代数余子式的正负号,可以通过数数的方式,因为是正负号间隔出现的的。
二、行列式的性质
行列式的性质:
1 行和列交换,值不变,从上面的计算也可以知道,行和列展开是一样的,这说明行列式中行和列的地位是一样的。该性质告诉我们,在实际计算中,应该找寻0最多的行或列进行展开。
2 两行交换,其值变号。目前还暂未发现实际用处。
3 若某一行有公因子,则可以提到竖线外边,小的数字更加方便观察。从性质一可以得到行列交换之后结果是一样的,需要注意的是,系数是某一行的,而不是所有行和列公共的。
4 对行进行倍加运算,其值不变,目的是让某一行多出零,从而更方便展开计算。问题,这一性质是怎么得来的?
此外介绍几种常见的特殊行列式
1 上三角,对角线之上均为0,这种类型的行列式值为对角线元素的乘积.
2 两行成比例,行列式为0,由倍加运算的性质可以得到。
第一行和第三行成比例,由倍加运算可以让其中一行都成为0,因此按照这行展开,整个行列式展开,值为0.
总结:
本节学习了两个内容:
第一行列式的概念。
第二行列式的计算。
行列式的计算要懂得观察,观察行和列的整体特点,观察的目的就是要利用行列式的性质来最大限度的计算行列式的值,但是学习中观察浪费的时间有多少?这因人而异,眼神是关键,有的人就可以用眼神“杀人”。同时本节也留下来两个问题:第一,行列式的本质是什么,数学中到底用它来做什么?第二,行列式的性质四是如何得到的?
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