算法：完美数

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先介绍一下什么是 完美数

一个数，它的所有小于或等于它自身的因子(包括1)之和=这个数
例如：
6=1+2+3 =2^1(2^2-1)=1+...+(2^2-1)
28=1+2+4+7+14 =2^2(2^3-1)=1+...+(2^3-1)
496=1+2+4+8+16+31+62+124+248 =2^2(2^5-1)=1+...+(2^5-1)
注意到后面的指数2,3,5都是质数。

研究完美数，一般要研究到梅森素数
完美数和梅森素数紧密关联。Mersenne primes(梅森素数):
M_p = 2^p - 1 ,如果要使得M_p为素数，p必须为素数。但这是必要条件，例如p=11时，M_p不是梅森数，因为2^11-1不是素数。
完美数和梅森素数之间的关系如下。如M_p = 7，可得P＝28是完美数
P = 1/2(M_p+1)M_p = q*(2^(p-1)) = (2^p-1)(2^(p-1))

2*28 = (2*2)*(7) = (2^0 + 2^1 + 2^2)(7^0 + 7^1)

根据上面的公式，我们可以看到完美数和素数以及素数的个数相关

因此，我们能得到第一个求解完美数的算法，如下代码perfect1（这是错误的，但却是网上流传最广的，如4会被打印，但4不是完美数）

对于数学功底很强的人，我们可以继续看公式

一个2^p-1是否梅森素数的测试方法：
Lucas-Lehma 测试(Ref:Knuth vol2,4.5.4 (24), maybe P.391)
定理: 设q是一个奇素数，用下面的规则定义序列:
L[0]=4, L[n+1]=(L[n]^2 - 2) mod (2^q-1)
那么 2^q-1 是(梅森)素数，当且仅当 L[q-2]=0.

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#define N 1000#define P 100000int prime(int*); // 求质数表int factor(int*, int, int*); // 求factorint fsum(int*, int); // sum ot proper factorint prime(int* pNum) {    int i, j;    int prime[N+1];    for(i = 2; i <= N; i++)        prime[i] = 1;    for(i = 2; i*i <= N; i++) {        if(prime[i] == 1) {            for(j = 2*i; j <= N; j++) {                if(j % i == 0)                    prime[j] = 0;            }        }    }    for(i = 2, j = 0; i < N; i++) {        if(prime[i] == 1)            pNum[j++] = i;    }    return j;}int factor(int* table, int num, int* frecord) {    int i, k;    for(i = 0, k = 0; table[i] * table[i] <= num;) {        if(num % table[i] == 0) {            frecord[k] = table[i];            k++;            num /= table[i];        }        else            i++;    }    frecord[k] = num;    return k+1;}int fsum(int* farr, int c) {    int i, r, s, q;    i = 0;    r = 1;    s = 1;    q = 1;    while(i < c) {        do {            r *= farr[i];            q += r;            i++;        } while(i < c-1 && farr[i-1] == farr[i]);        s *= q;        r = 1;        q = 1;    }    return s / 2;}void perfect1(){    int ptable[N+1] = {0}; // 储存质数表     int fact[N+1] = {0}; // 储存因式分解结果    int count1, count2, i;    count1 = prime(ptable);    for(i = 0; i <= P; i++) {        count2 = factor(ptable, i, fact);        if(i == fsum(fact, count2))            printf("Perfect Number: %d\n", i);    }    printf("\n");}typedef long long LL;LL data[70];/* * Mul和Mul2的功能应该是一样的。只是 * Mul考虑到了大数相乘的问题吧 */LL Mul(LL a, LL b, LL m){    LL ans = 0;    while(b)    {        if(b & 1)            ans = (ans + a) % m;        a = (a*2)%m;        b /= 2;    }    return ans;}LL Mul2(LL a, LL b, LL m){    return a * b % m;}int Lucas_Lehmer(int p){    LL MOD = (1LL<<p)-1;    data[1] = 4;    for(int i = 2; i <= p-1; i++)    {        LL ans = Mul(data[i-1], data[i-1], MOD);        data[i] = (ans-2) % MOD;    }    if(data[p-1] == 0) return 1;    return 0;}void perfect2(){    for(int i = 0; i <= 62; i++) {        if (Lucas_Lehmer(i)){            int meson = pow(2,i) - 1;            int num = meson * (meson + 1) / 2;            printf("meson num %d perfect number %d\n", i, num);        }    }}int main(void){    //perfect1();    perfect2();    return 0;}