完美数

17963 完美数

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题型: 编程题   语言: G++;GCC;VC

Description

圣经上写着：“神6天创造天地万有，第7日安歇。”  这个世界用6天创造，暗示这个创造是多么完美！

任何一个自然数的约数中都有1和它本身，而所有小于它本身的因数叫做这个自然数的真约数。例如，6的所有真约数
是1、2、3；8的所有真约数是1、2、4。如果一个数的真约数之和等于这个自然数本身，则这个自然数就称为完美数。
比如6就是一个完美数，而8却不是。

完美数只有6吗？还有一些，但找到的完美数是非常少的（完美的东西都比较稀缺），用沧海一粟来形容也不为过，因
为到目前为止，科学家们借助计算机的帮助也只找到约47个完美数，第一个完美数就是数字6。

实际上，在非常遥远的古代，古代数学家就开始探寻完美数了。公元前3世纪，古希腊著名数学家欧几里得发现了一个
计算完美数的公式：如果2^n-1是一个质数，那么，由公式N(n)=2^(n-1)*(2^n-1)算出的数一定是一个完美数。例如，
当n=2时，2^2-1=3是一个质数，于是N(2)=2^(2-1)*(2^2-1)=2*3=6是一个完美数；当n=3时，2^3-1=7也是一个质数，
N(3)=4*7=28是一个完美数；当n=5时，N(5)=496也是一个完美数。

18世纪时，大数学家欧拉又从理论上证明：每一个偶完美数必定是由上述公式算出的。

所以，寻找新的完美数与寻找新的质数密切相关。

也曾经有人验证过位数少于36位的所有自然数，始终也没有发现奇完美数的踪迹。不过，在浩瀚的自然数海洋里，奇
完美数是否存在，也没有任何证明能证实这一结论。

尽管有欧拉和欧几里德的公式，寻找完美数的工作仍然非常艰巨。
例如，当n=31时，N(31) = 2^(31-1)*(2^31-1) = 2305843008139952128，这是一个19位数。

1979年，当人们知道2^44497-1是一个新的质数时，随之也就知道了2^44496*（2^44497-1）是一个新的完美数；1983年
，人们知道2^86243-1是一个更大的质数时，也就知道了 2^86242*（2^86243-1）是一个更大的完美数。迄今所知最大的
一个完美数是2^43112608*(2^43112609-1)。

出这个题目，是让大家体会分离出一个比较大的整数的因子有多难？判断一个比较大的整数是质数有多难？不信？你按照
前述完美数的定义来写程序，看你能输出到第几个完美数。

现在请你以下列格式输出前8个完美数，每行一个完美数，前面是序号后面是完美数，中间用空格间隔。如：
1 6
2 xx
3 xxx
……




输入格式

无



输出格式

输出前8个完美数，每行一个完美数，前面是序号后面是完美数，中间用空格间隔。



输入样例

无



输出样例

1 6
2 xx
3 xxx
……

8 xxxxxxxx

#include "stdafx.h"//预编译#include<iostream>#include<cmath>//#include<iomanip>using namespace std; //判断质数的函数，从3起步和步长为2是为了提高速度，大约能提高一半的速度。//但是导致质数数组中存放的数并不都是素数。不过不影响完美数的正确性。//如果从2起步，步长为一可以使得两个数组的结果都正确，但是时间需要两倍。//win7，vs2015环境下步长为2时间大约是14秒，步长为1时间大约是28秒//提交的时候也没有能够通过。inline bool isPrimeNumber(long long  number) {for (long long i = 3; i < number / 2; i += 2) {if (number % i == 0) {return false;}else {//return true;continue;}}return true;}//计算完美数公式，inline是为了提高速度，虽然并不明显inline long long N(long long n) {return static_cast<long long>(pow(2, n - 1)*(pow(2, n) - 1));}int main(){int prime_count = 1;int perfect_count = 0;long long  perfect_array[8];//完美数数组8个long long  prime_array[4311];//质数数组，大小是估计定的，因为只有8个prime_array[0] = 2;for (int i = 3; i <= 4311; i++) {if (isPrimeNumber(i)) {prime_array[prime_count] = i;prime_count++;}else {}}for (int l = 0; l <= prime_count; l++) {long long perfect_number = static_cast<long long>(pow(2, prime_array[l]) - 1);if (isPrimeNumber(static_cast<long long>(pow(2, prime_array[l]) - 1))){//判断2^n-1是不是质数perfect_array[perfect_count] = N(prime_array[l]);perfect_count++;if (perfect_count > 7) {break;}}}for (int m = 0; m < 8; m++) {cout << m + 1 << " " << perfect_array[m] << endl;}    return 0;}