数字信号处理学习笔记二：Z变换及离散时间系统分析

参考书：《数字信号处理-理论、算法与实现》第二版 胡广书 清华大学出版社

1. Z变换的定义

1）Z变换的定义方法

    a）直接定义：X(z) = ∑x(n)(z的-n次幂)，求和时n范围为负正无穷

    b）抽样信号的拉普拉斯变化过渡到Z变换：r = exp(σTs)，w = ΩTs，z = rexp(jw)

2）拉普拉斯复变量s与Z变换复变量z之间的映射规律

    a）s直角坐标，z极坐标

    b）s平面的jΩ轴对应z平面的单位圆；此时，拉普拉斯和Z变换均变为傅里叶变换

    c）s平面的左平面映射到z平面的单位圆内；s的右平面映射到z平面的单位圆外

    d）f在jΩ轴上从负无穷到正无穷的过程中，每间隔fs，w从0变到2π，即在单位圆上绕了一周。所以由s平面到z平面的映射不是单一的，这是离散信号的傅里叶变换是周期的根本原因

    e）归一化频率： f' = f/fs，w = 2πf'

    离散序列做DETF时实频率轴定标的物理解释：实际频率f、角频率Ω、圆周频率w、归一化频率f'之间的对应关系

2. Z变换的收敛域

1）研究意义：据ROC研究Z变换的存在性和唯一性；由ROC的形态，大致推断其所对应信号是右边序列、左边序列、双边序列、因果序列、有限长序列

2）求信号的Z变换和收敛域

3）有限长序列的收敛域：

    a）N1>=0,N2 >0，ROC是除去原点的整个复平面 |z|>0

    b）N1<0, N2<= 0,ROC是除去无穷远点的整个复平面 |z| <正无穷

    c）N1<0，N2 >0，ROC是除去无穷远点和原点的整个复平面 0<|z| < 正无穷

4）右边序列：某一圆外部

   a）因果序列：某一半径为圆的圆外部分

   b）非因果序列：N1<0， N2= 无穷远点，ROC ：(Rx,正无穷)

5）左边序列：某一圆内

    a）非因果序列

    b）N2>0 不包括原点；N2<=0，包含原点

6）双变序列：左右两序列的ROC交集

3. Z变换的性质

1）线性：ROC为交集

2）时移性质：

    a）右移因果序列新序列的Z变换不变

    b）左移因果序列新序列的Z变换 Z(x(n+k)) = z的k次幂[X(z) -∑x(n)*z的-n次幂 （n值从0到k-1）]

    c）序列的指数加权性质

    d）序列的线性加权性质：X(z)为x(n)的Z变换，则nx(n)的Z变换为 -z(dX(z)/dz)

    e）时域卷积性质：

3） 一些典型信号的Z变换

4. 逆Z变换

1）幂级数法（长除法）：

     a）将X(z)表示成一个幂级数的形式，幂级数的系数为所求x(n)

     b）根据ROC推断序列的形式（右边序列、左边序列...），长除法

2）部分分式法

    a）典型信号Z变换 δ(n)---1；a的n次幂--（z/z-a）；exp(-an) -- （z/(z-exp(-a))）

    b）X(z)/z = A/... + B/... + C/...  确定A、B、C值，得出X(z)为多个多项式和的形式，然后反推x(n)

3）留数法

5. LSI的转移函数

1）转移函数的定义

    a）线性移不变离散时间系统的描述方法：

    4种：频率响应、转移函数差分方程、卷积关系

    联系纽带为系统的单位抽样响应

    b）LIS系统差分方程   <--->    LSI系统的转移函数

2）离散系统的零极分析

    a）极零点分析是系统分析的主要内容之一

    b）系统稳定性判据2

    c）由极零图估计系统的频率响应

3）滤波的基本概念

6. IIR系统的信号流图与结构

1）IIR系统的信号流图

2）IIR系统的直接实现

3）IIR系统的级联实现

4）IIR系统的并联实现

7. 用Z变换求解差分方程