二分图最大匹配

二分图的基本概念
一个无向图G=<V, E>，如果存在两个集合X、Y，使得X∪Y=V， X∩Y=Φ，并且每一条边e={x，y}有x∈X，y∈Y，则称G为一个二分图(bipartite graph)。常用<X, E, Y>来表示一个二分图。若对X中任一x及Y中任一y恰有一边e∈E，使e = {x, y}, 则称G为完全二分图(complete bipartite graph)。当|X| = m，|Y| = n时，完全二分图G记为K_m,n。

二分图的性质：
定理：无向图G为二分图的充分必要条件是，G至少有两个顶点,且其所有回路的长度均为偶数。
匹配：设G=<V, E>为二分图，如果M⊆E，并且M中没有任何两边有公共端点。M=Φ时称M为空匹配。
最大匹配:G的所有匹配中边数最多的匹配称为最大匹配。
完全匹配:若X(Y)中所有的顶点都是匹配M中的端点。则成M为完全匹配。若M既是X-完全匹配又是Y-完全匹配，则称M为G的完全匹配。
注意:最大匹配总是存在但未必唯一；X(Y)-完全匹配及G的完全匹配必定是最大的，但反之则不然；X(Y)-完全匹配未必存在。

下面引入几个术语：
设G=<V, E>为二分图，M为G的一个匹配。

1. M中边的端点称为M-顶点，其它顶点称为非M-顶点。
2. 增广路径:除了起点和终点两个顶点为非M-顶点，其他路径上所有的点都是M=顶点。而且它的边为匹配边、非匹配边交替出现。
   图1图2
   
   如上图中图1，就是一个二分图的匹配:[X1, Y2]。图2就是在这个匹配的基础上的两个增广路径:X2→Y2→X1→Y1和X3→Y3。
   我们来验证一下:增广路径 X2→Y2→X1→Y1中，起止点X2、Y1为非M-顶点。而中间点Y2、X1都是M-顶点。
   边{X2, Y2}, {X1, Y1}为非匹配边，而边{Y2, X1}为匹配边，满足匹配边与非匹配边交替出现。
   同理X3→Y3路径也满足增广路径的要求。

   借助这幅图，来描述一下增广路径的性质。

   1. 有奇数条边。
   2. 起点在二分图的左半边，终点在右半边。
   3. 路径上的点一定是一个在左半边，一个在右半边，交替出现。（其实二分图的性质就决定了这一点，因为二分图同一边的点之间没有边相连，不要忘记哦。）
   4. 整条路径上没有重复的点。
   5. 起点和终点都是目前还没有配对的点，而其它所有点都是已经配好对的。
   6. 路径上的所有第奇数条边都不在原匹配中，所有第偶数条边都出现在原匹配中。
   7. 最后，也是最重要的一条，把增广路径上的所有第奇数条边加入到原匹配中去，并把增广路径中的所有第偶数条边从原匹配中删除（这个操作称为增广路径的取反），则新的匹配数就比原匹配数增加了1个。
   ∵增广路径的长度是奇数，我们设为2k+1条
   又∵第一条是非匹配边 且 匹配边与非匹配边交替出现
   ∴非匹配边有K+1条，匹配边有K条。
   非匹配边比匹配边多了1条。
   此时，我们做取反操作(匹配边变成非匹配边，非匹配边变成匹配边)，则匹配边的个数就会在原来的基础上增加1条。
   求最大匹配的“匈牙利算法”就是这样做的。
   无论从哪个匹配开始(整个程序的初始状态是从空匹配开始)，每次操作都让匹配数增加1条，不断使它得到扩充，直到找不到增广路径。
   这样就得到了最大匹配了。

   对增广路径，还有一种递归的定义，可能不大准确，但揭示了一种寻找增广路径的一般方法:
   从集合X中的一个非M-顶点A出发，通过与A关联的边到达集合Y中的端点B， 如果B在M中没有任何边匹配，则B就是该增广路径的终点； 如果B已经与C点配对，则这条增广路径就是从A→B→C并加上“从C点出发的增广路径”。 并且这条增广路径中不能有重复的点出现。

   图3
   比如我们要从上图中找出一条从X3点出发的增广路径，我们需要做以下几步。
   

   1. 首先从X3出发，它能连接到的点只有点Y3，而Y3已经与X2配对，所以现在的增广路径是X3→Y3→X2在加上从点X2出发的增广路径。
   2. 点X2能连接到Y2，Y3，但Y3与前面的路径重复，而{X2, Y2}这条边也不在原来的匹配中，所以只能连接到Y2。所以现在的增广路径是X3→Y3→X2→Y2→X1在加上从点X1出发的增广路径。
   3. 点X1能连接到的点且不前面路径重复的点只有Y1。并且Y1在原先的匹配中不与其他所有点配对，属于非M-顶点。因此Y1是该增广路径的终点。所以最终的增广路径是X3→Y3→X2→Y2→X1→Y1。

   严格意义上讲，上面提到的从X2出发的增广路径X2→Y2→X1→Y1和从点X1出发的增广路径X1→Y1并不是真正意义上的增广路径，它们不符合第5个性质。它们的起点是已配对的点。 这里说它们是增广路径只是为了简化搜索过程，它们都只是中间返回值而已。

现在就进入我们的正题:用匈牙利算法求最大匹配。
匈牙利算法的基本模式是:

初始时最大匹配为空while 找得到增广路径    do 把增广路径加入到最大匹配中去

比如我们寻找图1的最大匹配，过程可能如下:

1. 初始最大匹配为空。
2. 找到增广路径X1→Y2，把它取反，则匹配数增大到1，最大匹配变成[X1, Y2]。
3. 找到增广路径X2→Y3，把它取反，则匹配数增大到2，最大匹配变成[X1, Y2]，[X2, Y3]。
4. 找到增广路径X3→Y3→X2→Y2→X1→Y1，把它取反，则匹配数增大到3，最大匹配变成[X1, Y1]，[X2, Y2]，[X3, Y3]。
5. 找不出增广路径，程序结束，得到最大匹配数为3。

这只是其中一种可能的过程，还有其他不同的过程，得到的增广路径也可能不同，但最后最大匹配数一定是相同的。

从上面的描述可以看出，搜索增广路径的方法是DFS，写一个递归的函数。当然也可以用BFS。

至此，理论基础部份讲完了。但是要完成匈牙利算法，还需要一个重要的定理：
如果从一个点A出发，没有找到增广路径，那么无论再从别的点出发找到多少增广路径来改变现在的匹配，从A出发都永远找不到增广路径。

有了这个定理，匈牙利算法就成形了。如下:

初始时最大匹配为空for 二分图左半边的每个点i    do 从点i出发寻找增广路径。如果找到，则把它取反(即增加了总了匹配数)。 

如果二分图的左半边一共有n个点，那么最多找n条增广路径。如果图中共有m条边，那么每找一条增广路径(DFS或BFS)时最多把所有边遍历一遍，所花时间也就是m。所以总的时间大概就是O(n * m)。