二分图 最大匹配

hdu 2063 二分图—最大匹配

分类： 图论 2013-03-25 16:48 287人阅读 评论(0)收藏 举报

ACM算法二分图最大匹配匈牙利算法

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2063

设G=(V,E)是一个无向图。如顶点集V可分区为两个互不相交的子集V1,V2之并，并且图中每条边依附的两个顶点都分属于这两个不同的子集。则称图G为二分图。二分图也可记为G=(V1,V2,E)。

给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集{E}中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。选择这样的子集中边数最大的子集称为图的最大匹配问题(maximal matching problem)

图的点覆盖：寻找一个点集，使得图中每一条边至少有一点在该点集中
二分图的最小点覆盖 = 最大匹配

图的独立集：寻找一个点集，其中任意两点在图中无对应边
一般图的最大独立集是NP完全问题
二分图的最大独立集 = 图的点数-最大匹配

图的路径覆盖：用不相交路径覆盖有向无环图的所有顶点
二分图的最小路径覆盖 = 节点数-最大匹配

匈牙利算法：用增广路求最大匹配的方法

若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。（M为一个匹配）

由增广路的定义可以推出下述三个结论：

　　1－P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。

　　2－将M和P进行异或操作(去同存异)可以得到一个更大的匹配M’。

　　3－M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径。

算法描述：

　　(1)置M为空

　　(2)找出一条增广路径P，通过异或操作获得更大的匹配M’代替M

　　(3)重复(2)操作直到找不出增广路径为止

题目大意：有n个女生和m个男生，以及K种可能的组合方式，求最多能有几对组合；

[cpp] view plaincopyprint?

1. #include<stdio.h>
2. #include<string.h>
3. #define N 505
4. int link[N],flag[N],map[1005][2],K;
5. int Find(int x)
6. {
7. int i;
8. for(i=0;i<K;i++){
9. if(map[i][0]==x&&flag[map[i][1]]==0){
10. flag[map[i][1]]=1; //标记访问过的点，防止出现死循环和重复计算
11. if(link[map[i][1]]==0 || Find(link[map[i][1]])==1){
12. link[map[i][1]]=x;
13. return 1;
14. }
15. }
16. }
17. return 0;
18. }
19. int main()
20. {
21. int n,m,i,cnt;
22. while(scanf("%d",&K),K){
23. scanf("%d%d",&n,&m);
24. memset(link,0,sizeof(link));
25. for(i=0;i<K;i++){
26. scanf("%d%d",&map[i][0],&map[i][1]);
27. }
28. for(i=1,cnt=0;i<=n;i++){ //每个点只需要查找一遍：若从某一点开始找不到增广路，
29. memset(flag,0,sizeof(flag));//则无论当前匹配如何改变都无法再从该点找到增广路
30. if(Find(i))
31. cnt++;
32. }
33. printf("%d\n",cnt);
34. }
35. return 0;
36. }

 

 

hdu 1498 二分图—最小点覆盖

分类： 图论 2013-03-27 11:16 299人阅读 评论(0)收藏 举报

ACM算法二分图最小点覆盖

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1498

/*

题目大意：有 n*n 的矩阵中放着 1-50 种气球，每次只能毁掉一行或者一列。求 k 此操作后那些气球不能被全部毁掉。

解题思路：对于每一种给定的color，当 map[i][j] = color 时可以认为存在一条 i—j 的路径，这样就可以构建一个二分图，二分图的两个点集分别是该颜色气球的横纵坐标；毁掉该 colo r的所有气球所需的次数就是该二分图的最小点覆盖。

什么是图的点覆盖

*/

[cpp] view plaincopyprint?

1. #include<stdio.h>
2. #include<string.h>
3. #define M 105
4. #define N 55
5. int map[M][M],link[M],flag[M],ans[N],n,k;//注意：link和flag数组长度应该和矩阵的行列数相等；
6. int find(int i,int color)
7. {
8. int j;
9. for(j=1;j<=n;j++){
10. if(map[i][j]==color&&flag[j]==0){
11. flag[j]=1;
12. if(link[j]==0||find(link[j],color)==1){
13. link[j]=i;
14. return 1;
15. }
16. }
17. }
18. return 0;
19. }
20. int getnum(int color)
21. {
22. int i,sum;
23. memset(link,0,sizeof(link));
24. for(i=1,sum=0;i<=n;i++){
25. memset(flag,0,sizeof(flag));
26. if(find(i,color)==1)
27. sum++;
28. }
29. return sum;
30. }
31. int main()
32. {
33. int i,j,t;
34. while(scanf("%d%d",&n,&k),n||k){
35. memset(map,0,sizeof(map));
36. memset(ans,0,sizeof(ans));
37. for(i=1;i<=n;i++){
38. for(j=1;j<=n;j++){
39. scanf("%d",&map[i][j]);
40. }
41. }
42. for(i=1,t=0;i<=50;i++){ //注意这里是遍历每一种颜色，所以循环次数等于所有颜色数
43. if(getnum(i)>k)
44. ans[t++]=i;
45. }
46. if(t==0)
47. printf("-1\n");
48. else{
49. for(i=0;i<t;i++){
50. printf(i==0?"%d":" %d",ans[i]);
51. }
52. printf("\n");
53. }
54. }
55. return 0;
56. }

hdu 2255 二分图—最优匹配

分类： 图论 2013-03-28 11:53 359人阅读 评论(0)收藏 举报

ACMKM算法二分图最优匹配图论

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2255

/*

最优匹配：使二分图的边权和最大的完备匹配。（如果二分图的两个点集不相等可以通过加 ’点‘ 和 ’权值为0的边‘ 实现转化）

相关概念

可行顶标：若L(x)是顶点x对应的顶标值。可行顶标对于图中的每条边(x,y)都有L(x)+L(y)>=w(x,y)

相等子图：只包含L(x)+L(y)=w(x,y)的边的子图

算法流程

设顶点Xi的顶标为a[i]，顶点Yi的顶标为b[i]

ⅰ.初始时，a[i]为与Xi相关联的边的最大权值，b[j]=0，保证a[i]+b[j]>=w(i,j)成立

ⅱ.当相等子图中不包含完备匹配时，就适当修改顶标以扩大相等子图，直到找到完备匹配为止

修改顶标的方法：当从 Xi 开始寻找交错路失败后，得到一棵交错树，对交错树中 X 顶点的顶标减少 d 值， Y 顶点的顶标增加 d 值。

对于图中所有的边 (i,j) 有：

i和j都不在交错树中，边(i,j)仍然不属于相等子图

i和j都在交错树中，边(i,j)仍然属于相等子图

i不在交错树中，j在交错树中，a[i]+b[j]扩大，边(i,j)不属于相等子图

i在交错树,j不在交错树中,边(i,j)有可能加入到相等子图中

为了使a[i]+b[j]>=w(i,j)始终成立,且至少有一条边加入到相等子图中,d=min{a[i]+b[j]-w(i,j)},其中 i 在交错树中, j 不在交错树中。

由于在算法过程一直保持顶标的可行性，所以任意一个匹配的权值和肯定小于等于所有结点的顶标之和，又因为在扩大相等子图过程中优先加入了权值大大边，所以在相等子图中找到的第一个完备匹配就是最优匹配。

*/

题目大意：有n个人和n件物品，w[i][j]表示第 i 个人对第 j 件物品的出价，求这些物品能得到的最大价值；

[cpp] view plaincopyprint?

1. #include<stdio.h>
2. #include<string.h>
3. #define N 305
4. #define Max 1000000
5. int w[N][N],linky[N];//数组 w 记录边权，数组 linky 记录顶点 y 的匹配；
6. int lx[N],ly[N]; //数组 lx 和 ly 分别记录顶点 x 和 y 的顶标值；
7. int visx[N],visy[N];//数组 visx 和 visy 分别记录顶点 x 和 y 是否被访问；
8. int n,low; //low 记录每次顶标需要变化的值；
9. int Find(int x)
10. {
11. int y,t;
12. visx[x]=1;
13. for(y=0;y<n;y++){
14. if(visy[y])continue;
15. t=lx[x]+ly[y]-w[x][y];
16. if(t==0){
17. visy[y]=1;
18. if(linky[y]==-1||Find(linky[y])){
19. linky[y]=x;
20. return 1;
21. }
22. }
23. else{
24. if(low>t)low=t;
25. }
26. }
27. return 0;
28. }
29. void KM()
30. {
31. int i,x;
32. for(x=0;x<n;x++){
33. while(1){
34. memset(visx,0,sizeof(visx));
35. memset(visy,0,sizeof(visy));
36. low=Max;
37. if(Find(x))break;
38. for(i=0;i<n;i++){
39. if(visx[i])
40. lx[i]-=low;
41. if(visy[i])
42. ly[i]+=low;
43. }
44. }
45. }
46. }
47. int main()
48. {
49. int i,j,sum;
50. while(scanf("%d",&n)!=EOF){
51. memset(lx,0,sizeof(lx));
52. memset(ly,0,sizeof(ly));
53. memset(linky,-1,sizeof(linky));
54. for(i=0;i<n;i++){
55. for(j=0;j<n;j++){
56. scanf("%d",&w[i][j]);
57. if(lx[i]<w[i][j])
58. lx[i]=w[i][j];
59. }
60. }
61. KM();
62. for(i=0,sum=0;i<n;i++){
63. sum+=w[linky[i]][i];
64. }
65. printf("%d\n",sum);
66. }
67. return 0;
68. }

#include<stdio.h>#include<string.h>#define N 305#define Max 1000000int w[N][N],linky[N];  //数组 w 记录边权，数组 linky 记录顶点 y 的匹配；int lx[N],ly[N];       //数组 lx 和 ly 分别记录顶点 x 和 y 的顶标值；int visx[N],visy[N];   //数组 visx 和 visy 分别记录顶点 x 和 y 是否被访问；int n,low;             //low 记录每次顶标需要变化的值；int Find(int x){    int y,t;    visx[x]=1;    for(y=0;y<n;y++){        if(visy[y])continue;        t=lx[x]+ly[y]-w[x][y];        if(t==0){            visy[y]=1;            if(linky[y]==-1||Find(linky[y])){                linky[y]=x;                return 1;            }        }        else{            if(low>t)low=t;        }    }    return 0;}void KM(){    int i,x;    for(x=0;x<n;x++){        while(1){            memset(visx,0,sizeof(visx));            memset(visy,0,sizeof(visy));            low=Max;            if(Find(x))break;            for(i=0;i<n;i++){                if(visx[i])                    lx[i]-=low;                if(visy[i])                    ly[i]+=low;            }        }    }}int main(){    int i,j,sum;    while(scanf("%d",&n)!=EOF){        memset(lx,0,sizeof(lx));        memset(ly,0,sizeof(ly));        memset(linky,-1,sizeof(linky));for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++){scanf("%d",&w[i][j]);if(lx[i]<w[i][j])lx[i]=w[i][j];}}        KM();            for(i=0,sum=0;i<n;i++){            sum+=w[linky[i]][i];        }        printf("%d\n",sum);    }    return 0;}

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hdu 2444 二分图判定+最大匹配

分类： 图论 2013-05-03 08:11 238人阅读 评论(0)收藏 举报

ACMC图论二分图判定最大匹配

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2444

题目大意：有n个人之间有m对互相认识，问能否将所有人分成两组，同一组的任意两人互不认识。若不能分组输出“No”，若能分组计算并输出有最多有多少对人互相认识；

思路：先用DFS进行染色，判断能否分成两组组（即能否构成二分图），如果可以求二分图的最大匹配；

[cpp] view plaincopyprint?

1. #include<iostream>
2. #include<stdio.h>
3. #include<string.h>
4. #include<stdlib.h>
5. #define N 202
6. using namespace std;
7. int map[N][N],link[N],visit[N],color[N];
8. bool flag;
9. bool DFS(int i,int n,int c)
10. {
11. int j;
12. for(j=1;j<=n;j++){
13. if(map[i][j]==1){
14. if(color[j]==c)
15. continue;
16. if(color[j]==0){
17. color[j]=c;
18. flag=DFS(j,n,-c);
19. }
20. else{
21. return false;
22. }
23. if(!flag)
24. return false;
25. }
26. }
27. return true;
28. }
29. bool find(int x,int n)
30. {
31. int y;
32. for(y=1;y<=n;y++){
33. if(map[x][y]==1 && visit[y]==0){
34. visit[y]=1;
35. if(link[y]==-1 || find(link[y],n)){
36. link[y]=x;
37. return true;
38. }
39. }
40. }
41. return false;
42. }
43. int main()
44. {
45. int n,m,a,b,i,cnt;
46. while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
47. flag=true;
48. memset(map,0,sizeof(map));
49. memset(link,-1,sizeof(link));
50. memset(color,0,sizeof(color));
51. while(m--){
52. scanf("%d%d",&a,&b);
53. map[a][b]=map[b][a]=1;
54. }
55. for(i=1;i<=n;i++){//对每个点通过DFS进行染色
56. if(color[i]==0)
57. color[i]=1;
58. flag=DFS(i,n,-color[i]);
59. if(!flag)break;
60. }
61. if(!flag){
62. printf("No\n");
63. continue;
64. }
65. for(i=1,cnt=0;i<=n;i++){
66. memset(visit,0,sizeof(visit));
67. if(find(i,n))
68. cnt++;
69. }
70. printf("%d\n",cnt/2);
71. }
72. return 0;
73. }