动态规划-最长公共子串问题-java版

最长公共子串问题：一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列。给定两个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z 是序列X和Y的公共子序列。最长公共子串就是求给定两个序列的一个最长公共子序列。例如，X=“COBEBRANT”，Y=“COBAT”是X的一个子序列。

问题分析：

给定两个序列A和B，称序列Z是A和B的公共子序列，是指Z同是A和B的子序列。问题要求已知两序列A和B的最长公共子序列。如采用列举A的所有子序列，并一一检查其是否又是B的子序列，并随时记录所发现的子序列，最终求出最长公共子序列。这种方法因耗时太多而不可取。

考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bm-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1” 为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：

（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn- 2”的一个最长公共子序列；

（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1” 的一个最长公共子序列；

（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2” 的一个最长公共子序列。

这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法，具体说明如下。

定义lcs[i][j]为序列“a0，a1，…，ai-2”和“b0，b1，…，bj-1”的最长公共子序列的长度，计算lcs[i][j]可递归地表述如下：

（1）lcs[i][j] = 0                         如果i=0或j=0；

（2）lcs[i][j] = c[i-1][j-1]+1             如果i,j>0，且a[i-1] = b[j-1]；

（3）lcs[i][j] = max{c[i][j-1], c[i-1][j]} 如果i,j>0，且a[i-1] != b[j-1]。

按此算式可写出计算两个序列的最长公共子序列的长度函数。由于c[i][j]的产生仅依赖于lcs[i-1][j-1]、lcs[i-1][j]和lcs[i][j- 1]，故可以从lcs[m][n]开始，跟踪lcs[i][j]的产生过程，逆向构造出最长公共子序列。细节见程序。

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1. package com.algorithm; 
2.  
3. //动态规划实现最小公共字符串问题 
4. public class ComSubstr { 
5.  
6.     public staticvoid main(String[] arg) { 
7.         String a = "blog.csdn.net"; 
8.         String b = "csdn.blogt"; 
9.         comSubstring(a, b); 
10.     } 
11.  
12.     private staticvoid comSubstring(String str1, String str2) { 
13.         char[] a = str1.toCharArray(); 
14.         char[] b = str2.toCharArray(); 
15.         int a_length = a.length; 
16.         int b_length = b.length; 
17.         int[][] lcs = new int[a_length +1][b_length + 1]; 
18.         // 初始化数组 
19.         for (int i =0; i <= b_length; i++) { 
20.             for (int j =0; j <= a_length; j++) { 
21.                 lcs[j][i] = 0; 
22.             } 
23.         } 
24.         for (int i =1; i <= a_length; i++) { 
25.             for (int j =1; j <= b_length; j++) { 
26.                 if (a[i - 1] == b[j -1]) { 
27.                     lcs[i][j] = lcs[i - 1][j - 1] + 1; 
28.                 } 
29.                 if (a[i -1] != b[j - 1]) { 
30.                     lcs[i][j] = lcs[i][j - 1] > lcs[i -1][j] ? lcs[i][j - 1] 
31.                             : lcs[i - 1][j]; 
32.                 } 
33.             } 
34.         } 
35.         // 输出数组结果进行观察 
36.         for (int i =0; i <= a_length; i++) { 
37.             for (int j =0; j <= b_length; j++) { 
38.                 System.out.print(lcs[i][j]+","); 
39.             } 
40.             System.out.println(""); 
41.         } 
42.         // 由数组构造最小公共字符串 
43.         int max_length = lcs[a_length][b_length]; 
44.         char[] comStr = newchar[max_length]; 
45.         int i =a_length, j =b_length; 
46.         while(max_length>0){ 
47.             if(lcs[i][j]!=lcs[i-1][j-1]){ 
48.                 if(lcs[i-1][j]==lcs[i][j-1]){//两字符相等，为公共字符 
49.                     comStr[max_length-1]=a[i-1]; 
50.                     max_length--; 
51.                     i--;j--; 
52.                 }else{//取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列 
53.                     if(lcs[i-1][j]>lcs[i][j-1]){ 
54.                         i--; 
55.                     }else{ 
56.                         j--; 
57.                     } 
58.                 } 
59.             }else{ 
60.                 i--;j--; 
61.             } 
62.         } 
63.         System.out.print("最长公共字符串是："); 
64.         System.out.print(comStr); 
65.     } 
66. } 

package com.algorithm;//动态规划实现最小公共字符串问题public class ComSubstr {public static void main(String[] arg) {String a = "blog.csdn.net";String b = "csdn.blogt";comSubstring(a, b);}private static void comSubstring(String str1, String str2) {char[] a = str1.toCharArray();char[] b = str2.toCharArray();int a_length = a.length;int b_length = b.length;int[][] lcs = new int[a_length + 1][b_length + 1];// 初始化数组for (int i = 0; i <= b_length; i++) {for (int j = 0; j <= a_length; j++) {lcs[j][i] = 0;}}for (int i = 1; i <= a_length; i++) {for (int j = 1; j <= b_length; j++) {if (a[i - 1] == b[j - 1]) {lcs[i][j] = lcs[i - 1][j - 1] + 1;}if (a[i - 1] != b[j - 1]) {lcs[i][j] = lcs[i][j - 1] > lcs[i - 1][j] ? lcs[i][j - 1]: lcs[i - 1][j];}}}// 输出数组结果进行观察for (int i = 0; i <= a_length; i++) {for (int j = 0; j <= b_length; j++) {System.out.print(lcs[i][j]+",");}System.out.println("");}// 由数组构造最小公共字符串int max_length = lcs[a_length][b_length];char[] comStr = new char[max_length];int i =a_length, j =b_length;while(max_length>0){if(lcs[i][j]!=lcs[i-1][j-1]){if(lcs[i-1][j]==lcs[i][j-1]){//两字符相等，为公共字符comStr[max_length-1]=a[i-1];max_length--;i--;j--;}else{//取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列if(lcs[i-1][j]>lcs[i][j-1]){i--;}else{j--;}}}else{i--;j--;}}System.out.print("最长公共字符串是：");System.out.print(comStr);}}

以下是程序输出结果：

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1. 0,0,0,0,0,0,1,2,2,2,2, 
2. 0,0,0,0,0,0,1,2,3,3,3, 
3. 0,0,0,0,0,0,1,2,3,4,4, 
4. 0,0,0,0,0,1,1,2,3,4,4, 
5. 0,1,1,1,1,1,1,2,3,4,4, 
6. 0,1,2,2,2,2,2,2,3,4,4, 
7. 0,1,2,3,3,3,3,3,3,4,4, 
8. 0,1,2,3,4,4,4,4,4,4,4, 
9. 0,1,2,3,4,5,5,5,5,5,5, 
10. 0,1,2,3,4,5,5,5,5,5,5, 
11. 0,1,2,3,4,5,5,5,5,5,5, 
12. 0,1,2,3,4,5,5,5,5,5,6, 
13. 最长公共字符串是：csdn.t