算法导论 2.3-5

题目

回顾一下联系2.1-3中提到的查找问题，注意如果序列A是已排序的，就可以将该序列的中点与v进行比较。根据比较的结果，原序列中有一半就可以不用再做进一步的考虑了。二分查找就是一个不断重复这一过程的算法。写出二分查找的伪代码，可以是迭代的，也可以是递归的。说明二分查找的最坏情况运行时间是为什么是

分析

分别给出迭代形式和递归形式的分析，从分析可以看出迭代和递归是等价的，递归的解法比较直观，迭代的空间代价是较小的。

迭代形式分析

给定参数A，p，r，v，A[p...r]是排序好的序列。需要一个变量q记录中点的位置，然 后就是迭代的循环：

q被赋值为

v==A[q]，找到了v，返回q值；

v>A[q]，p被赋值为q+1；

v<A[q]，r被赋值为q-1；

循环的终止条件是p<=r。这里必须有等号，否则对于单个数据的数组没法查找了
试着写出迭代的二分查找的循环不变式：在循环的每次迭代开始前，必然满足不等式A[p]<=v或A[r]>=v，且是排序好的。

伪代码

BINARY-SEARCH-ITERATION(A, p, r, v)costtimesif A[p] > v or A[r] < vc11    then return NILc21或0while p <= rc3ti    q <- c4ti-1    if v == A[q]
        then return q
    else if v > A[q]
                 then p <- q+1
             else r <- q-1c5ti-1                
    if A[p] > v or A[r] < vc6ti-1        then return NILc71或0return NILc81
为满足循环不变式，加入对断点的判断

时间复杂度分析

由伪代码的分析可以看出，整个程序的运行时间由ti决定，所以，，而在最坏情况下，即v与A[p]或A[r]相等，由于每次搜索范围都是上一次的一半，所以此种情况下，while循环运行次，因此

递归形式分析

伪代码

BINARY-SEARCH-RECURSION(A, p, r, v)
1    if p <= r
2        then q <- 
3                  if A[q] == v
4                      then return q
5                      else if A[q] > v
6                                   then return BINARY-SEARCH-RECURSION(A, p, q-1, v)
7                                   else return BINARY-SEARCH-RECURSION(A, q+1, r, v)

8    retrun NIL

时间复杂度分析

使用分治法分析：
分解：这一步需要求出中点的位置，并进行比较，步骤是常数，因此
解决：递归的解决规模为n/2的子问题，所以时间为T(n/2)
合并：显然，二分查找直接返回v的位置，不需要合并，因此C(n)=0
因此，二分查找的递归式为

通过画出递归树或主定理都可以得到二分查找的最坏运行时间为

Pyhton实现

迭代

def binary_search_ite(a, p, r, v):    if a[p] > v or a[r] < v:        return None    while p <= r:        q = (p + r) / 2        if a[q] == v:            return q        elif a[q] > v:            r = q - 1        elif a[q] < v:            p = q + 1        if a[p] > v or a[r] < v:            return None    return None

递归

def binary_search(a, p, r, v):    if p <= r:        q = (p + r) / 2        if a[q] == v:            return q        elif a[q] > v:            return binary_search(a, p, q-1, v)        elif a[q] < v:            return binary_search(a, q + 1, r, v)    return None