一道神奇的二分题
来源:互联网 发布:手机记账软件哪个好 编辑:程序博客网 时间:2024/06/16 14:09
前些天从顾森大大的博客里面看到一道题,题目描述是这样的,给定一个未知的序列,序列中每一个数都是不一样的,然后给定一些形如a[x]到a[y]的最小值是x的命题,求第一个出现矛盾的命题。
这道题怎么做呢?很显然我们需要判断出怎么表示这个矛盾,首先考虑一下,如果有这样两个命题,a1到a5的最小值是3,a2到a6的最小值是4,首先,我们已经明确了1到5这个区间内一定有一个3,2到6这个区间内一定有一个4,并且可以确定的是,2到5这个区间的最小值一定不能是3而应该是4,显然,2到5这个区间的最小值升级了,那么这道题就可以这么看,对于每一个数,所有命题中覆盖了这个数的区间的最大值就是这个数的下界,也就是说,可能出现在这个位置的数不会小于下界。把所有的数的下界求出来,也就是说,把所有的命题更新到这个序列中,利用某种数据结构,进行高效的更新。
把所有数的最大下界求出来以后,下面我们就要来查询了,由于数组中每一个数都是不一样的,对于每一个给出的最小值x,都需要有它的容身之所,如果没有,那么好吧,命题出现矛盾,那么我们可以对应于每一个最小值是x的命题,把所有的区间求一个交集,如果交集是空集,那么表示已经出现矛盾,如果不是空集,我们就上这个数据结构中查找这个集合中的最小的下界,如果这个集合中最小的下界都比x大,换言之,命题给出的条件已经表明这个集合中所有的元素都比x大的话,那么表示x无法放入这个集合中,那么证明这个集合是矛盾的。
可是上述的方法只能求出来是否矛盾,而无法确定矛盾的具体位置,那么这个时候可以二分枚举前面最长的合理区间,然后对于这个区间里面的每一个x用上述方法进行验证,最终求出来。
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