一道神奇的树形dp题

题目大意：给定n，m，对于1~n中的每一个k，求有k个叶子结点且满足以下性质的二叉树的个数：

1）一个点要么是叶子结点，要么有左右儿子。

2）从根出发的任意一条路径上，向左的边不超过m次。

对998244353取模。n，m<=5000。

题解如下：

首先容易想到dp[x][y]表示x个叶子最远向左走y次的方案数，然后转移枚举左边子树的叶子个数，用容斥剪掉重复计算部分。

发现这个转移是卷积的形式，可以用ntt优化卷积，这样是过不了了。

然后就是神dp。现在我们考虑模拟树的dfs来构造这棵树。

令dp[x][y]表示节点数为x，根到当前结点向左走了y次。

首先显然这棵树的大小是2k-1，这是毫无置疑的。

然后考虑发现如果按照先序遍历的方式dfs这棵树的话，那么：

如果当前这个点x向左走到y，那么x之后一定会向右走到z。

也就是说，对于每一个点，要么向左走，并且x++，y++；

而从当前x这个点向右走，可以认为是从y向上一步（y--），然后向右一步（x++）。

这时因为如果一个点向右走说明从这个点向左走过，并且已经走完了，所以一定存在一个回溯过程。

事实上还可以直接令dp[x][y]表示叶子数为x向左走y。这样从x向左走叶子数量不变，向右走叶子数量+1.

这样复杂度就是O(n^2)的。

感觉这种题不是很可做啊。

维护树的dfs过程，恩，这个很好玩。