NYOJ214最长单调递增子序列（DP）
来源：互联网 发布：java读取dat文件内容 编辑：程序博客网 时间：2024/05/18 06:39
单调递增子序列(二)
时间限制：1000 ms | 内存限制：65535 KB
难度：4
- 描述
给定一整型数列{a1,a2...,an}（0<n<=100000），找出单调递增最长子序列，并求出其长度。
如：1 9 10 5 11 2 13的最长单调递增子序列是1 9 10 11 13，长度为5。
- 输入
- 有多组测试数据（<=7）
每组测试数据的第一行是一个整数n表示序列中共有n个整数，随后的下一行里有n个整数，表示数列中的所有元素.每个整形数中间用空格间隔开（0<n<=100000）。
数据以EOF结束 。
输入数据保证合法（全为int型整数）！ - 输出
- 对于每组测试数据输出整形数列的最长递增子序列的长度，每个输出占一行。
- 样例输入
71 9 10 5 11 2 1322 -1
- 样例输出
51
题目分析：经典的dp算法是这样求的：设A[i]表示序列中的第i个数，F[i]表示从1到i这一段中以i结尾的最长上升子序列的长度，初始时设F[i] = 0(i = 1, 2, ..., len(A))。则有动态规划方程：F[i] = max{1, F[j] + 1} (j = 1, 2, ..., i - 1, 且A[j] < A[i])。代码（TLE）：
#include<stdio.h>#define N 100010int dp[N],num[N];int main(){ int n,i,j,ans; while(scanf("%d",&n)!=EOF){ for(i=0;i<n;i++){ scanf("%d",&num[i]); dp[i]=1; } for(i=1,ans=-1;i<n;i++){ for(j=0;j<i;j++){ if(num[j]<=num[i]) dp[i]=dp[j]+1>dp[i]?dp[j]+1:dp[i];if(ans<dp[i])ans=dp[i]; } } printf("%d\n",ans); } return 0;}因为经典的算法的时间复杂度是O(n^2),这道题数据量比较大，经典算法会超时，所以我们要寻找更高效的算法，回顾经典算法，我们用F[i]表示以i结尾的递增序列的长度，现在，我们仔细考虑计算F[i]时的情况。假设有两个元素A[x]和A[y]，满足(1) x < y < i(2) A[x] < A[y] < A[i](3) F[x] = F[y]此时，选择F[x]和选择F[y]都可以得到同样的F[i]值，那么，在最长上升子序列的这个位置中，应该选择A[x]还是应该选择A[y]呢？很明显，选择A[x]比选择A[y]要好。因为由于条件(2)，在A[x+1] ... A[i-1]这一段中，如果存在A[z]，A[x] < A[z] < a[y]，则与选择A[y]相比，将会得到更长的上升子序列。再根据条件(3)，我们会得到一个启示：根据F[]的值进行分类。对于F[]的每一个取值k，我们只需要保留满足F[i] = k的所有A[i]中的最小值。设D[k]记录这个值，即D[k] = min{A[i]} (F[i] = k)。注意到D[]的两个特点：(1) D[k]的值是在整个计算过程中是单调不上升的。(2) D[]的值是有序的，即D[1] < D[2] < D[3] < ... < D[n]。利用D[]，我们可以得到另外一种计算最长上升子序列长度的方法。设当前已经求出的最长上升子序列长度为len。先判断A[i]与D[len]。若A[i] > D[len]，则将A[i]接在D[len]后将得到一个更长的上升子序列，len = len + 1， D[len] = A[i]；否则，在D[1]..D[len]中，找到最大的j，满足D[j] < A[i]。令k = j + 1，则有D[j] < A[i] <= D[k]，将A[i]接在D[j]后将得到一个更长的上升子序列，同时更新D[k] = A[i]。最后，len即为所要求的最长上升子序列的长度。在上述算法中，若使用朴素的顺序查找在D[1]..D[len]查找，由于共有O(n)个元素需要计算，每次计算时的复杂度是O(n)，则整个算法的时间复杂度为O(n^2)，与原来的算法相比没有任何进步。但是由于D[]的特点(2)，我们在D[]中查找时，可以使用二分查找高效地完成，则整个算法的时间复杂度下降为O(nlogn)，有了非常显著的提高。需要注意的是，D[]在算法结束后记录的并不是一个符合题意的最长上升子序列！代码：#include<stdio.h>#define N 100100int dp[N+10],a[N+10];int find(int x, int len){ int left=0,right=len,mid; while(left<=right){ mid=(left+right)/2; if(dp[mid]==x) return mid; else if(dp[mid]<x) left=mid+1; else right=mid-1; } return left;}int main(){ int n,t,len,i; while(scanf("%d",&n)!=EOF){ for(i=0;i<n;i++){ scanf("%d",&a[i]); } len=1,dp[0]=a[0]; for(i=1;i<n;i++){ if(a[i]>dp[len-1]) dp[len++]=a[i]; else{ t=find(a[i],len); dp[t]=a[i]; } } printf("%d\n",len); } return 0;}
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