数据结构--堆排序

起源1991年计算机先驱奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德(RobertW．Floyd)和威廉姆斯(J．Williams)在1964年共同发明了著名的堆排序算法( Heap Sort )

n个关键字序列Kl，K2，…，Kn称为(Heap)，当且仅当该序列满足如下性质(简称为堆性质)：
(1) ki≤K2i且ki≤K2i+1 或(2)Ki≥K2i且ki≥K2i+1(1≤i≤ n)
若将此序列所存储的向量R[1..n]看做是一棵完全二叉树的存储结构，则堆实质上是满足如下性质的完全二叉树：树中任一非叶结点的关键字均不大于(或不小于)其左右孩子(若存在)结点的关键字。（即如果按照线性存储该树，可得到一个不下降序列或不上升序列）
【例】关键字序列(10，15，56，25，30，70)和(70，56，30，25，15，10)分别满足堆性质(1)和(2)，故它们均是堆，其对应的完全二叉树分别如小根堆示例和大根堆示例所示。
大根堆和小根堆根结点(亦称为堆顶)的关键字是堆里所有结点关键字中最小者的堆称为小根堆,又称最小堆.根结点(亦称为堆顶)的关键字是堆里所有结点关键字中最大者，称为大根堆又称最大堆. 注意：①堆中任一子树亦是堆.②以上讨论的堆实际上是二叉堆(Binary Heap)，类似地可定义k叉堆.　堆排序(HeapSort)是一树形选择排序。堆排序的特点是：在排序过程中，将R[l..n]看成是一棵完全二叉树的顺序存储结构，利用完全二叉树中双亲结点和孩子结点之间的内在关系(参见二叉树的顺序存储结构)，在当前无序区中选择关键字最大(或最小)的记录。

  ;堆排序与直接选择排序的区别

　直接选择排序中，为了从R[1..n]中选出关键字最小的记录，必须进行n-1次比较，然后在R[2..n]中选出关键字最小的记录，又需要做n-2次比较。事实上，后面的n-2次比较中，有许多比较可能在前面的n-1次比较中已经做过，但由于前一趟排序时未保留这些比较结果，所以后一趟排序时又重复执行了这些比较操作。
　　堆排序可通过树形结构保存部分比较结果，可减少比较次数。堆排序利用了大根堆堆顶记录的关键字最大(或最小)这一特征，使得在当前无序区中选取最大(或最小)关键字的记录变得简单。
（1）用大根堆排序的基本思想
　   ① 先将初始文件R[1..n]建成一个大根堆,此堆为初始的无序区
　   ② 再将关键字最大的记录R[1](即堆顶)和无序区的最后一个记录R[n]交换，由此得到新的无序区R[1..n-1]和有序区R[n]，且满足R[1..n-1].keys≤R[n].key
       ③ 由于交换后新的根R[1]可能违反堆性质，故应将当前无序区R[1..n-1]调整为堆。然后再次将R[1..n-1]中关键字最大的记录R[1]和该区间的最后一个记录R[n-1]交换，由此得到新的无序区R[1..n-2]和有序区R[n-1..n]，且仍满足关系R[1..n-2].keys≤R[n-1..n].keys，同样要将R[1..n-2]调整为堆。
　……
　　直到无序区只有一个元素为止。
（2）大根堆排序算法的基本操作：
　　① 初始化操作：将R[1..n]构造为初始堆；
　②每一趟排序的基本操作：将当前无序区的堆顶记录R[1]和该区间的最后一个记录交换，然后将新的无序区调整为堆(亦称重建堆)。
注意：
　　①只需做n-1趟排序，选出较大的n-1个关键字即可以使得文件递增有序。
②用小根堆排序与利用大根堆类似，只不过其排序结果是递减有序的。堆排序和直接选择排序相反：在任何时刻堆排序中无序区总是在有序区之前，且有序区是在原向量的尾部由后往前逐步扩大至整个向量为止。

堆排序算法(C ++描述)

　　void HeapSort(SeqIAst R)
　{ //对R[1..n]进行堆排序，不妨用R[0]做暂存单元
　　int i；
　BuildHeap(R)； //将R[1-n]建成初始堆
　　for(i=n;i>1；i--)
　{
　　//对当前无序区R[1..i]进行堆排序，共做n-1趟。
R[0]=R[1];
　　R[1]=R;
　R=R[0];//将堆顶和堆中最后一个记录交换
　　Heapify(R，1，i-1)；
　//将R[1..i-1]重新调整为堆，仅有R[1] 可能违反堆性质
　　} //endfor
　}
　　//HeapSort
　因为构造初始堆必须使用到调整堆的操作，先讨论Heapify的实现。

Heapify 函数思想方法

每趟排序开始前R[l..i]是以R[1]为根的堆，在R[1]与R交换后，新的无序区R[1..i-1]中只有R[1]的值发生了变化，故除R[1]可能违反堆性质外，其余任何结点为根的子树均是堆。因此，当被调整区间是R[low..high]时，只须调整以R[low]为根的树即可。
　"筛选法"调整堆

　　R[low]的左、右子树(若存在)均已是堆，这两棵子树的根R[2low]和R[2low+1]分别是各自子树中关键字最大的结点。若R[low].key不小于这两个孩子结点的关键字，则R[low]未违反堆[性质，以R[low]为根的树已是堆，无须调整；否则必须将R[low]和它的两个孩子结点中关键字较大者进行交换，即R[low]与R[large](R[large].key=max(R[2low].key，R[2low+1].key))交换。交换后又可能使结点R[large]违反堆性质，同样由于该结点的两棵子树(若存在)仍然是堆，故可重复上述的调整过程，对以R[large]为根的树进行调整。此过程直至当前被调整的结点已满足性质，或者该结点已是叶子为止。上述过程就象过筛子一样，把较小的关键字逐层筛下去，而将较大的关键字逐层选上来。因此，有人将此方法称为"筛选法"。

BuildHeap的实现要将初始文件R[l..n]调整为一个大根堆，就必须将它所对应的完全二叉树中以每一结点为根的子树都调整为堆。

显然只有一个结点的树是堆，而在完全二叉树中，所有序号大于n/2的结点都是叶子，因此以这些结点为根的子树均已是堆。这样，我们只需依次将以序号为n/2，…，1的结点作为根的子树都调整为堆即可。

算法分析

堆[排序的时间，主要由建立初始]堆和反复重建堆这两部分的时间开销构成，它们均是通过调用Heapify实现的。

堆排序的最坏时间复杂度为O(nlog2n)。堆序的平均性能较接近于最坏性能。

　由于建初始堆所需的比较次数较多，所以堆排序不适宜于记录数较少的文件。

　堆排序是就地排序，辅助空间为O(1)，

　它是不稳定的排序方法。

[编辑本段]堆排序

树形选择排序(锦标赛排序)，1964年威洛姆斯(J.Willioms)提出了进一步改正的排序方法，即堆排序(heapsort)。

堆是n个元素的有限序列{ K1,K2,…,Kn }，它当且仅当满足如下关系：

这是一个上小、底大的堆。若是一个上大、底小的堆，只需把"<=”改为">=”即可。堆是一种数据元素之间的逻辑关系，常用向量做存储结构。对于满二叉树，当对它的结点由上而下，自左至右编号之后，编号为 i的结点是编号为 2i 和 2i+1 结点的双亲。反过来讲，结点 2i 是结点 i 的左孩子，结点 2i+1 是结点 i 的右孩子。图9.7 表示完全二叉树和它在向量中的存储状态。结点编号对应向量中的下标号。

　用堆的概念分析向量中的数据，它显然满足（上小、底大）堆的关系。不难看出满足堆的逻辑关系的一组数据，可画成二叉树的形状，并且它是一棵完全二叉树树形。因此，也可借助完全二叉树来描述堆的概念。若完全二叉树中任一非叶子结点的值小于等于（或大于等于）其左、右孩子结点的值，则从根结点开始按结点编号排列所得的结点序列就是一个堆。在图9.8 中 (a) 、 (c) 是堆， (b) 、 (d) 不是堆。

　2.堆排序的算法思想

　堆排序利用了大根堆(或小根堆)堆顶记录的关键字最大(或最小)这一特征，使得在当前无序区中选取最大(或最小)关键字的记录变得简单。

（1）用大根堆排序的基本思想

① 先将初始文件R[1..n]建成一个大根堆，此堆为初始的无序区

②再将关键字最大的记录R[1](即堆顶)和无序区的最后一个记录R[n]交换，由此得到新的无序区R[1..n-1]和有序区R[n]，且满足R[1..n-1].keys≤R[n].key

③由于交换后新的根R[1]可能违反堆性质，故应将当前无序区R[1..n-1]调整为堆。然后再次将R[1..n-1]中关键字最大的记录R[1]和该区间的最后一个记录R[n-1]交换，由此得到新的无序区R[1..n-2]和有序区R[n-1..n]，且仍满足关系R[1..n-2].keys≤R[n-1..n].keys，同样要将R[1..n-2]调整为堆。

　直到无序区只有一个元素为止。

　（2）大根堆排序算法的基本操作：

　① 初始化操作：将R[1..n]构造为初始堆；

　　②每一趟排序的基本操作：将当前无序区的堆顶记录R[1]和该区间的最后一个记录交换，然后将新的无序区调整为堆(亦称重建堆)。

　①只需做n-1趟排序，选出较大的n-1个关键字即可以使得文件递增有序。

②用小根堆排序与利用大根堆类似，只不过其排序结果是递减有序的。堆排序和直接选择排序相反：在任何时刻，堆排序中无序区总是在有序区之前，且有序区是在原向量的尾部由后往前逐步扩大至整个向量为止。

　　3.具体算法

template<class T>

heapsort(T r[],int n) //n为文件的实际记录数，r[0]没有使用

{ int i,m;node x;

　　for(i=/2;i>=1;i--)heappass(r,i,n);//初建堆

//以下for语句为输出堆顶元素、调整堆操作

for(m=n-1;m>=1;m--)//逻辑堆尾下标m不断变小

{cout<<r[1].key<<"";

x=r[1];r[1]=r[m+1];r[m+1]=x; //堆顶与堆尾元素对换

heappass(r,1,m);//恢复堆

　　cout<<r[1].key<<endl;

} //heapsort

　4.算法时间复杂度

堆排序中 heap 算法的时间复杂度与堆所对应的完全二叉树的树高度 log2n 相关。而 heapsort 中对 heap的调用数量级为n，所以堆排序的整个时间复杂度为O(nlog2n)。并且堆排序是不稳定的。

 （原创）例子： 

 #include "stdio.h"
void sift(int r[],int low,inthigh)       //调整堆算法
{
 inti=low,j=2*i;               //r【j】是r【i】的左孩子
 int tmp=r[i];
 while (j<=high)
 {
  if(j<high&&r[j]<r[j+1])      //若右孩子较大，把j指向右孩子
  {
   j++;
  }
  if(tmp<r[j]) 
  {
   r[i]=r[j];                   //将r【j】调整到双亲结点位置上
   i=j;               //修改i和j的值，以便继续向下帅选
   j=2*i;
  }
  else
   break;  //结束帅选
 }
 r[i]=tmp;         //被帅选的结点的值放入最终位置
}
void Heapsort(int r[],int n)
{
 int i;
 int tmp;
 for(i=n/2;i>=1;i--)         //循环建立初始堆
 {
  sift(r,i,n);
 }
 for(i=n;i>=2;i--)   //进行n-1趟完成排序，每趟排序的元素个数减1
 {
  tmp=r[1];      //将最后一个元素同当前区间r【1】对换
  r[1]=r[i];
  r[i]=tmp;
  sift(r,1,i-1); //帅选r【1】结点，得到i-1个结点的堆
 }
}
void main()
{
 int a[10]={1,2,4,5,6,3,10,9,8,7};
 Heapsort(a,10);
 for (int i=0;i<10;i++)
 {
  printf("%d ",a[i]);
 }
}