数学分析教程 第四章学习感受

第四章主要讲的泰勒公式，分为3种，带皮亚罗余项的，带拉格朗日余项的，和带柯西余项的。前者是在某一点展开的，后者二者是在一段区间内展开的。

皮亚诺余项给出的是无穷小的阶，比较适合用来求极限：就是把分子分母都用泰勒公式展开，然后通过多项式的加减算出极限。而且这里有一些技巧，比如展开到多少阶，多项式相乘以后的高阶如何忽略等等。

拉格朗日和柯西余项给出的都是具体的表达式，可以通过余项来估算展开的误差。

这三种泰勒公式中，必须要熟记一些常用函数的迈克劳林展开式，很有用。

利用泰勒公式，可以导出一个判断一个点是否为极值点的结论。前k-1阶导数为0，第k阶不为0。若为奇数，那么不是极值点，若k为偶数，若k阶导数大于0则为极小值，否则为极大值。这个方法比之前那个方法好多了，之前那个如果二阶导数等于0，就无法判断了。

书中还讲了一个利用多项式（这里使用泰勒公式）逼近函数的误差。但是放在这里稍微有点纠结，因为其实插值说大不大，说小不小，放在数值分析里，也要讲上一章内容。你连插值具体是怎么做的都没讲清楚，就想估计误差。未免让人觉得有些莫名其妙。

这本书在第二版中，专门讲述了插值、曲线拟合、曲面的表示与逼近这三部分数值计算的内容。虽然这三部分内容的确是“纯微积分”的，但是就我的学习经验，它们更适合专门放到《数值分析》（或者《计算方法》）中讲授，不仅要讲授如何数值计算，更要通过编写程序，才能深入理解“数值”计算的本质。

书中有一个例子，计算2开5次方的值。是利用泰勒公式做的，据说是华罗庚老先生当年出的题目。其实我很好奇计算机是如何计算的。