数学分析教程 第十四章学习感受

这一章主要讲的是数项级数，虽然是为函数项级数做铺垫的，但是由于很多技巧性问题，所以其实挺有意思的。
最基础的内容是正项级数的判别法。其中比较判别法是他们的根本，然后通过跟不同的已知收敛的级数（尤其是等比数列）相比较，得出了cauchy判别法和Dalembert判别法。cauchy比Dalembert的范围更广，但是Dalembert更加好用一些。通过比值判别法，启示我们可以跟一些已知的收敛更慢的级数比较，得出Raabe判别法和Gauss判别法，但是由于收敛更慢的级数是找不完的，所以其实判别法也是无穷多的。
任意向级数的判断就要相对复杂一些。但是最基本的交错级数是简单的，主要通项递减趋于0即可。而Dirichlet和Abel判别法讲的都是乘机是否收敛的问题，放在这里似乎稍微有点牵强。
引入绝对收敛和条件收敛以后，判别级数的收敛就变成了先判断是否是绝对收敛，如果不是我们再向其他办法的事。最重要的，是Riemann证明了一件不是很显然的事：条件收敛的级数可以通过交换次序，使其收敛到任意结果。（高中时老师讲无穷项相加不满足交换律，当时一直不明白，直到7年后才明白……）
然后讲了级数的乘法，因为是无穷项的，首先得定义乘法的通项是什么，其中cauchy乘机最常用（也有其他乘积）。然后自然就会提出一个问题：如果第一个级数收敛到A，第二级数收敛到B，那么他们通项的乘机之后求和是否收敛到AB？结论是如果两个级数都绝对收敛，那么不管怎么乘，结果都是对的；如果一个绝对一个条件，那么cauchy乘积也是收敛的。
最后讲了无穷乘积（连乘）是否收敛的问题，但是通过取对数，可以把连乘的问题转化成无穷级数求和的收敛性问题，所以其结论都是这样推广过来的。不再赘述了。